Номер 27.28, страница 170, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 27. Общие методы решения уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 27.28, страница 170.

27.28. a) $(x - 1)^4 + 36 = 13(x^2 - 2x + 1);$

б) $(2x + 3)^4 - 9 = 8(4x^2 + 12x + 9).$

а) $(x - 1)^4 + 36 = 13(x^2 - 2x + 1)$

Заметим, что выражение в скобках в правой части уравнения представляет собой полный квадрат разности: $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$.
Подставим это в исходное уравнение:
$(x - 1)^4 + 36 = 13(x - 1)^2$
Это биквадратное уравнение относительно выражения $(x - 1)$. Сделаем замену переменной.
Пусть $t = (x - 1)^2$. Так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным, то $t \ge 0$.
Уравнение принимает вид:
$t^2 + 36 = 13t$
Перенесем все члены в левую часть и получим стандартное квадратное уравнение:
$t^2 - 13t + 36 = 0$
Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 13, а их произведение равно 36. Легко подобрать корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = 9$.
Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.
Теперь выполним обратную замену для каждого корня.
1. Если $t = 4$, то $(x - 1)^2 = 4$.
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:
$x - 1 = 2$ или $x - 1 = -2$.
Отсюда находим два корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.
2. Если $t = 9$, то $(x - 1)^2 = 9$.
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:
$x - 1 = 3$ или $x - 1 = -3$.
Отсюда находим еще два корня: $x_3 = 4$ и $x_4 = -2$.
Таким образом, уравнение имеет четыре корня.
Ответ: $-2; -1; 3; 4$.

б) $(2x + 3)^4 - 9 = 8(4x^2 + 12x + 9)$

Заметим, что выражение в скобках в правой части уравнения является полным квадратом суммы: $4x^2 + 12x + 9 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 3 + 3^2 = (2x + 3)^2$.
Подставим это в исходное уравнение:
$(2x + 3)^4 - 9 = 8(2x + 3)^2$
Сделаем замену переменной, чтобы упростить уравнение.
Пусть $y = (2x + 3)^2$. Поскольку $y$ является квадратом, должно выполняться условие $y \ge 0$.
С новой переменной уравнение выглядит так:
$y^2 - 9 = 8y$
Приведем его к стандартному виду:
$y^2 - 8y - 9 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета: сумма корней равна 8, а их произведение равно -9. Корни: $y_1 = 9$ и $y_2 = -1$.
Проверим корни на соответствие условию $y \ge 0$.
$y_1 = 9$ удовлетворяет условию.
$y_2 = -1$ не удовлетворяет условию ($-1 < 0$), поэтому это посторонний корень.
Выполним обратную замену для единственного подходящего корня $y = 9$.
$(2x + 3)^2 = 9$
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два случая:
$2x + 3 = 3$ или $2x + 3 = -3$.
1. В первом случае: $2x = 3 - 3 \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x_1 = 0$.
2. Во втором случае: $2x = -3 - 3 \Rightarrow 2x = -6 \Rightarrow x_2 = -3$.
Уравнение имеет два корня.
Ответ: $-3; 0$.