Номер 27.34, страница 171, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 27. Общие методы решения уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 27.34, страница 171.

27.34. a) $ \cos 6x - \cos 2x + \cos 8x - \cos 4x = 0; $

б) $ \sin 3x - \sin x + \cos 3x - \cos x = 0. $

а)

Исходное уравнение: $ \cos 6x - \cos 2x + \cos 8x - \cos 4x = 0 $.

Сгруппируем слагаемые для удобного применения формул преобразования суммы в произведение:

$ (\cos 8x + \cos 6x) - (\cos 4x + \cos 2x) = 0 $.

Применим формулу суммы косинусов $ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} $ к каждой группе:

$ 2 \cos \frac{8x+6x}{2} \cos \frac{8x-6x}{2} - (2 \cos \frac{4x+2x}{2} \cos \frac{4x-2x}{2}) = 0 $

$ 2 \cos 7x \cos x - 2 \cos 3x \cos x = 0 $.

Вынесем общий множитель $ 2 \cos x $ за скобки:

$ 2 \cos x (\cos 7x - \cos 3x) = 0 $.

Теперь применим формулу разности косинусов $ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2} $ к выражению в скобках:

$ 2 \cos x \left(-2 \sin \frac{7x+3x}{2} \sin \frac{7x-3x}{2}\right) = 0 $

$ 2 \cos x (-2 \sin 5x \sin 2x) = 0 $

$ -4 \cos x \sin 5x \sin 2x = 0 $.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем совокупность трех уравнений:

1) $ \cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $;

2) $ \sin 5x = 0 \implies 5x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z} $;

3) $ \sin 2x = 0 \implies 2x = \pi m \implies x = \frac{\pi m}{2}, m \in \mathbb{Z} $.

Объединим полученные решения. Заметим, что первая серия корней $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n $ является подмножеством третьей серии $ x = \frac{\pi m}{2} $ (это соответствует нечетным значениям $ m $). Таким образом, для получения общего решения достаточно объединить вторую и третью серии.

Ответ: $ x = \frac{\pi k}{5}, x = \frac{\pi m}{2}, $ где $ k, m \in \mathbb{Z} $.

б)

Исходное уравнение: $ \sin 3x - \sin x + \cos 3x - \cos x = 0 $.

Сгруппируем слагаемые:

$ (\sin 3x - \sin x) + (\cos 3x - \cos x) = 0 $.

Применим формулу разности синусов $ \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha-\beta}{2} \cos \frac{\alpha+\beta}{2} $ и формулу разности косинусов $ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2} $:

$ \left(2 \sin \frac{3x-x}{2} \cos \frac{3x+x}{2}\right) + \left(-2 \sin \frac{3x+x}{2} \sin \frac{3x-x}{2}\right) = 0 $

$ 2 \sin x \cos 2x - 2 \sin 2x \sin x = 0 $.

Вынесем общий множитель $ 2 \sin x $ за скобки:

$ 2 \sin x (\cos 2x - \sin 2x) = 0 $.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

1) $ \sin x = 0 \implies x = \pi n, n \in \mathbb{Z} $;

2) $ \cos 2x - \sin 2x = 0 $.

Решим второе уравнение:

$ \cos 2x = \sin 2x $.

Заметим, что $ \cos 2x \neq 0 $, так как в противном случае из уравнения следовало бы, что и $ \sin 2x = 0 $, что невозможно, так как $ \sin^2(2x) + \cos^2(2x) = 1 $. Поэтому можно разделить обе части уравнения на $ \cos 2x $:

$ \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = 1 $

$ \tan 2x = 1 $.

Отсюда находим корни:

$ 2x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $.

Общее решение уравнения — это объединение корней, полученных в обоих случаях.

Ответ: $ x = \pi n, x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, $ где $ n, k \in \mathbb{Z} $.