Номер 27.40, страница 171, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 27. Общие методы решения уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 27.40, страница 171.

○27.40. a) $\log_{0.2} \sqrt{5x - 4} = \log_{0.2} x;$

б) $\log_7 \sqrt{3x^2 - 7x + 9} = \log_7 (x + 2);$

в) $\log_3 (x - 1) = \log_3 \sqrt{6x - 11};$

г) $\log_{0.4} x = \log_{0.4} \sqrt{x^2 + x}.$

а) Исходное уравнение: $ \log_{0,2} \sqrt{5x - 4} = \log_{0,2} x $.
Логарифмическое уравнение вида $ \log_a f(x) = \log_a g(x) $ равносильно системе: $ \begin{cases} f(x) = g(x) \\ f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \end{cases} $.
В данном случае достаточно решить систему: $ \begin{cases} \sqrt{5x - 4} = x \\ x > 0 \end{cases} $.
Из первого уравнения следует, что $ x \ge 0 $, так как квадратный корень не может быть отрицательным. Условие $ x > 0 $ является более строгим. Также должно выполняться условие подкоренного выражения: $ 5x - 4 \ge 0 $, то есть $ x \ge \frac{4}{5} $.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется системой: $ \begin{cases} x > 0 \\ 5x - 4 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ x > \frac{4}{5} \end{cases} \Rightarrow x > \frac{4}{5} $.
Решим уравнение $ \sqrt{5x - 4} = x $. Возведем обе части в квадрат:
$ 5x - 4 = x^2 $
$ x^2 - 5x + 4 = 0 $
По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 4. Корни:
$ x_1 = 1 $
$ x_2 = 4 $
Проверим, удовлетворяют ли корни условию ОДЗ $ x > \frac{4}{5} $ (или $ x > 0.8 $).
$ x_1 = 1 > 0.8 $ (подходит)
$ x_2 = 4 > 0.8 $ (подходит)
Ответ: $1; 4$.

б) Исходное уравнение: $ \log_7 \sqrt{3x^2 - 7x + 9} = \log_7 (x + 2) $.
ОДЗ: $ \begin{cases} 3x^2 - 7x + 9 > 0 \\ x + 2 > 0 \end{cases} $.
Для квадратного трехчлена $ 3x^2 - 7x + 9 $ найдем дискриминант: $ D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 9 = 49 - 108 = -59 $. Так как $ D < 0 $ и старший коэффициент $ 3 > 0 $, трехчлен положителен при любых $ x $.
Из второго неравенства получаем $ x > -2 $.
Итак, ОДЗ: $ x > -2 $.
Приравниваем аргументы логарифмов:
$ \sqrt{3x^2 - 7x + 9} = x + 2 $
Так как левая часть неотрицательна, то и правая должна быть неотрицательной: $ x + 2 \ge 0 $, что совпадает с ОДЗ. Возводим обе части в квадрат:
$ 3x^2 - 7x + 9 = (x + 2)^2 $
$ 3x^2 - 7x + 9 = x^2 + 4x + 4 $
$ 2x^2 - 11x + 5 = 0 $
Найдем корни через дискриминант: $ D = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 121 - 40 = 81 = 9^2 $.
$ x_1 = \frac{11 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0.5 $
$ x_2 = \frac{11 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{20}{4} = 5 $
Оба корня удовлетворяют ОДЗ $ x > -2 $.
Ответ: $0,5; 5$.

в) Исходное уравнение: $ \log_3 (x - 1) = \log_3 \sqrt{6x - 11} $.
ОДЗ: $ \begin{cases} x - 1 > 0 \\ 6x - 11 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 1 \\ x > \frac{11}{6} \end{cases} $.
Так как $ \frac{11}{6} \approx 1.83 $, то ОДЗ: $ x > \frac{11}{6} $.
Приравниваем аргументы логарифмов:
$ x - 1 = \sqrt{6x - 11} $
Так как правая часть неотрицательна, то и левая должна быть неотрицательной: $ x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1 $. Это условие выполняется в рамках ОДЗ. Возводим обе части в квадрат:
$ (x - 1)^2 = 6x - 11 $
$ x^2 - 2x + 1 = 6x - 11 $
$ x^2 - 8x + 12 = 0 $
По теореме Виета, сумма корней равна 8, а произведение равно 12. Корни:
$ x_1 = 2 $
$ x_2 = 6 $
Проверим, удовлетворяют ли корни условию ОДЗ $ x > \frac{11}{6} $.
$ x_1 = 2 > \frac{11}{6} $ (подходит)
$ x_2 = 6 > \frac{11}{6} $ (подходит)
Ответ: $2; 6$.

г) Исходное уравнение: $ \log_{0,4} x = \log_{0,4} \sqrt{x^2 + x} $.
ОДЗ: $ \begin{cases} x > 0 \\ x^2 + x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ x(x+1) > 0 \end{cases} $.
Неравенство $ x(x+1) > 0 $ выполняется при $ x < -1 $ или $ x > 0 $.
Пересечение условий $ x > 0 $ и ($ x < -1 $ или $ x > 0 $) дает ОДЗ: $ x > 0 $.
Приравниваем аргументы логарифмов:
$ x = \sqrt{x^2 + x} $
Так как правая часть неотрицательна, то и левая должна быть неотрицательной: $ x \ge 0 $. Это условие выполняется в рамках ОДЗ. Возводим обе части в квадрат:
$ x^2 = x^2 + x $
$ 0 = x $
Полученный корень $ x = 0 $ не удовлетворяет ОДЗ $ x > 0 $. Следовательно, уравнение не имеет решений.
Ответ: корней нет.