Номер 27.47, страница 172, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 27. Общие методы решения уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 27.47, страница 172.

27.47. a) $log^2_{0.5} x - 3|\log_{0.5} x| + \log_{0.5} x = 0;$

б) $lg^2 x - 9|lg x| - lg x = 0.$

а) $\log_{0,5}^2 x - 3|\log_{0,5} x| + \log_{0,5} x = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма: $x > 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_{0,5} x$. Тогда уравнение примет вид:

$t^2 - 3|t| + t = 0$

Рассмотрим два случая, чтобы раскрыть модуль.

Случай 1: $t \ge 0$

В этом случае $|t| = t$. Уравнение становится:

$t^2 - 3t + t = 0$

$t^2 - 2t = 0$

$t(t - 2) = 0$

Отсюда получаем два корня: $t_1 = 0$ и $t_2 = 2$. Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

1) $\log_{0,5} x = 0 \implies x = (0,5)^0 = 1$.

2) $\log_{0,5} x = 2 \implies x = (0,5)^2 = 0,25$.

Случай 2: $t < 0$

В этом случае $|t| = -t$. Уравнение становится:

$t^2 - 3(-t) + t = 0$

$t^2 + 3t + t = 0$

$t^2 + 4t = 0$

$t(t + 4) = 0$

Отсюда получаем два корня: $t_3 = 0$ и $t_4 = -4$. Корень $t_3 = 0$ не удовлетворяет условию $t < 0$. Корень $t_4 = -4$ удовлетворяет этому условию.

Вернемся к исходной переменной $x$:

$\log_{0,5} x = -4 \implies x = (0,5)^{-4} = (\frac{1}{2})^{-4} = 2^4 = 16$.

Все найденные значения $x$ (1; 0,25; 16) удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x_1 = 0,25, x_2 = 1, x_3 = 16$.

б) $\lg^2 x - 9|\lg x| - \lg x = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \lg x$. Тогда уравнение примет вид:

$y^2 - 9|y| - y = 0$

Рассмотрим два случая, чтобы раскрыть модуль.

Случай 1: $y \ge 0$

В этом случае $|y| = y$. Уравнение становится:

$y^2 - 9y - y = 0$

$y^2 - 10y = 0$

$y(y - 10) = 0$

Отсюда получаем два корня: $y_1 = 0$ и $y_2 = 10$. Оба корня удовлетворяют условию $y \ge 0$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

1) $\lg x = 0 \implies x = 10^0 = 1$.

2) $\lg x = 10 \implies x = 10^{10}$.

Случай 2: $y < 0$

В этом случае $|y| = -y$. Уравнение становится:

$y^2 - 9(-y) - y = 0$

$y^2 + 9y - y = 0$

$y^2 + 8y = 0$

$y(y + 8) = 0$

Отсюда получаем два корня: $y_3 = 0$ и $y_4 = -8$. Корень $y_3 = 0$ не удовлетворяет условию $y < 0$. Корень $y_4 = -8$ удовлетворяет этому условию.

Вернемся к исходной переменной $x$:

$\lg x = -8 \implies x = 10^{-8}$.

Все найденные значения $x$ (1; $10^{10}$; $10^{-8}$) удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x_1 = 10^{-8}, x_2 = 1, x_3 = 10^{10}$.