Номер 27.48, страница 172, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 27. Общие методы решения уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 27.48, страница 172.

27.48. a) $log_{1/6} (2 \sin x - 1) = log_{1/6} (2 - \sin^2 x);$

б) $log_5 (2 \cos^2 x - 1) = log_5 (-11 \cos x + 5).$

a) $\log_{\frac{1}{6}}(2 \sin x - 1) = \log_{\frac{1}{6}}(2 - \sin^2 x)$

Данное логарифмическое уравнение эквивалентно системе, состоящей из равенства подлогарифмических выражений и условия, что они положительны. Так как выражения равны, достаточно проверить положительность только одного из них.

$ \begin{cases} 2 \sin x - 1 = 2 - \sin^2 x, \\ 2 \sin x - 1 > 0. \end{cases} $

Решим первое уравнение системы:

$2 \sin x - 1 = 2 - \sin^2 x$

$\sin^2 x + 2 \sin x - 3 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin x$, где $|t| \le 1$.

$t^2 + 2t - 3 = 0$

По теореме Виета находим корни:

$t_1 = 1$

$t_2 = -3$

Возвращаемся к замене:

$\sin x = 1$ или $\sin x = -3$.

Уравнение $\sin x = -3$ не имеет решений, так как область значений синуса $[-1; 1]$.

Остается единственный вариант $\sin x = 1$.

Теперь проверим, удовлетворяет ли это значение второму условию системы (ОДЗ): $2 \sin x - 1 > 0$.

Подставляем $\sin x = 1$: $2(1) - 1 = 1 > 0$.

Условие выполняется. Следовательно, решением исходного уравнения будут все $x$, для которых $\sin x = 1$.

Решаем простейшее тригонометрическое уравнение $\sin x = 1$:

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $\log_{5}(2 \cos^2 x - 1) = \log_{5}(-11 \cos x + 5)$

Уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} 2 \cos^2 x - 1 = -11 \cos x + 5, \\ -11 \cos x + 5 > 0. \end{cases} $

Решим первое уравнение системы:

$2 \cos^2 x - 1 = -11 \cos x + 5$

$2 \cos^2 x + 11 \cos x - 6 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos x$, где $|t| \le 1$.

$2t^2 + 11t - 6 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 121 + 48 = 169 = 13^2$

Найдем корни квадратного уравнения:

$t_1 = \frac{-11 - 13}{2 \cdot 2} = \frac{-24}{4} = -6$

$t_2 = \frac{-11 + 13}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Возвращаемся к замене:

$\cos x = -6$ или $\cos x = \frac{1}{2}$.

Уравнение $\cos x = -6$ не имеет решений, так как область значений косинуса $[-1; 1]$.

Остается единственный вариант $\cos x = \frac{1}{2}$.

Проверим, удовлетворяет ли это значение второму условию системы (ОДЗ): $-11 \cos x + 5 > 0$.

Подставляем $\cos x = \frac{1}{2}$: $-11 \cdot (\frac{1}{2}) + 5 = -5.5 + 5 = -0.5$.

Неравенство $-0.5 > 0$ является ложным.

Так как единственное возможное значение $\cos x = \frac{1}{2}$ не удовлетворяет области допустимых значений, то исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: $\emptyset$.