Номер 27.44, страница 172, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 27. Общие методы решения уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 27.44, страница 172.

Решите уравнение:

27.44. a) $10^{\ln^2 (3x-e)} - 5 \ln (2x + e) = (0,1)^{\ln (2x + e)^5} - 1$

б) $\lg (9^x + 3^x + 1 - 1) - \lg (3^x - 2 \cdot 9^x) = 0.$

а) $10^{\ln^2(3x-e) - 5\ln(2x+e)} = (0,1)^{\ln(2x+e)^5 - 1}$

Первым шагом определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

1) $3x-e > 0 \implies 3x > e \implies x > \frac{e}{3}$

2) $2x+e > 0 \implies 2x > -e \implies x > -\frac{e}{2}$

Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $x > \frac{e}{3}$.

Теперь преобразуем правую часть уравнения. Заметим, что $0,1 = \frac{1}{10} = 10^{-1}$, и используем свойство логарифма $\ln(a^b) = b\ln(a)$:

$(0,1)^{\ln(2x+e)^5 - 1} = (10^{-1})^{5\ln(2x+e) - 1} = 10^{-(5\ln(2x+e) - 1)} = 10^{-5\ln(2x+e) + 1}$

Теперь исходное уравнение можно записать в виде:

$10^{\ln^2(3x-e) - 5\ln(2x+e)} = 10^{-5\ln(2x+e) + 1}$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$\ln^2(3x-e) - 5\ln(2x+e) = -5\ln(2x+e) + 1$

Сократим одинаковые члены $-5\ln(2x+e)$ в обеих частях уравнения:

$\ln^2(3x-e) = 1$

Это уравнение распадается на два случая:

1) $\ln(3x-e) = 1$

$3x-e = e^1 \implies 3x = 2e \implies x = \frac{2e}{3}$

2) $\ln(3x-e) = -1$

$3x-e = e^{-1} \implies 3x = e + \frac{1}{e} \implies 3x = \frac{e^2+1}{e} \implies x = \frac{e^2+1}{3e}$

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x > \frac{e}{3}$):

Для $x_1 = \frac{2e}{3}$: так как $2 > 1$, то $\frac{2e}{3} > \frac{e}{3}$. Корень подходит.

Для $x_2 = \frac{e^2+1}{3e}$: сравним $\frac{e^2+1}{3e}$ с $\frac{e}{3}$. Это эквивалентно сравнению $\frac{e^2+1}{e}$ с $e$. Умножив на $e > 0$, получим $e^2+1 > e^2$, что является верным неравенством. Следовательно, этот корень также подходит.

Ответ: $x = \frac{2e}{3}$, $x = \frac{e^2+1}{3e}$.

б) $\lg(9^x + 3^{x+1} - 1) - \lg(3^x - 2 \cdot 9^x) = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительны:

1) $9^x + 3^{x+1} - 1 > 0 \implies (3^x)^2 + 3 \cdot 3^x - 1 > 0$

2) $3^x - 2 \cdot 9^x > 0 \implies 3^x - 2 \cdot (3^x)^2 > 0$

Сделаем замену $t = 3^x$. Поскольку $3^x > 0$ для любого $x$, то $t > 0$.

Из второго неравенства: $t - 2t^2 > 0 \implies t(1-2t) > 0$. Так как $t > 0$, то $1-2t > 0 \implies 2t < 1 \implies t < \frac{1}{2}$.

Таким образом, $0 < t < \frac{1}{2}$.

Из первого неравенства: $t^2 + 3t - 1 > 0$. Корни уравнения $t^2 + 3t - 1 = 0$ равны $t = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}$. Так как $t>0$, нас интересует только $t > \frac{-3+\sqrt{13}}{2}$.

Объединяя условия на $t$, получаем ОДЗ для $t$: $\frac{\sqrt{13}-3}{2} < t < \frac{1}{2}$.

Теперь решим само уравнение. Перенесем второй логарифм в правую часть:

$\lg(9^x + 3^{x+1} - 1) = \lg(3^x - 2 \cdot 9^x)$

Потенцируя, получаем:

$9^x + 3^{x+1} - 1 = 3^x - 2 \cdot 9^x$

Снова используем замену $t = 3^x$:

$t^2 + 3t - 1 = t - 2t^2$

$3t^2 + 2t - 1 = 0$

Решаем квадратное уравнение относительно $t$:

$t = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(3)(-1)}}{2(3)} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{6} = \frac{-2 \pm 4}{6}$

$t_1 = \frac{-2+4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$t_2 = \frac{-2-4}{6} = -1$

Поскольку $t = 3^x > 0$, корень $t_2 = -1$ является посторонним. Остается $t_1 = \frac{1}{3}$.

Проверим, удовлетворяет ли $t = \frac{1}{3}$ ОДЗ для $t$: $\frac{\sqrt{13}-3}{2} < \frac{1}{3} < \frac{1}{2}$.

Неравенство $\frac{1}{3} < \frac{1}{2}$ верно, так как $2 < 3$.

Неравенство $\frac{\sqrt{13}-3}{2} < \frac{1}{3}$ эквивалентно $3(\sqrt{13}-3) < 2 \implies 3\sqrt{13} - 9 < 2 \implies 3\sqrt{13} < 11 \implies 9 \cdot 13 < 121 \implies 117 < 121$, что также верно.

Таким образом, значение $t=\frac{1}{3}$ удовлетворяет ОДЗ.

Производим обратную замену:

$3^x = \frac{1}{3} \implies 3^x = 3^{-1} \implies x = -1$

Ответ: $x = -1$.