Номер 27.51, страница 172, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 27. Общие методы решения уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 27.51, страница 172.

27.51. а) $2^{5x - 1}\left(\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \log_{0,5} (x + 4) = 0;$

б) $(\sin 2x + \cos 2x)(x - 8\sqrt{2x - 15}) = 0.$

а) $2^{5x-1}\left(\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\log_{0,5}(x+4) = 0$

Произведение трех множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а остальные при этом имеют смысл (определены). Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения.

ОДЗ определяется выражением под знаком логарифма, которое должно быть строго положительным:

$x + 4 > 0$

$x > -4$

Теперь рассмотрим три случая, когда один из множителей равен нулю, с учетом ОДЗ.

1. $2^{5x-1} = 0$.

Показательная функция $y=a^z$ (где $a>0, a \ne 1$) всегда принимает строго положительные значения. Следовательно, уравнение $2^{5x-1} = 0$ не имеет решений.

2. $\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$.

$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Решения этого стандартного тригонометрического уравнения имеют вид:

$x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \pi k = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3. $\log_{0,5}(x+4) = 0$.

По определению логарифма, это уравнение равносильно следующему:

$x + 4 = (0,5)^0$

$x + 4 = 1$

$x = -3$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные решения ОДЗ ($x > -4$).

Корень $x = -3$ удовлетворяет условию $-3 > -4$, поэтому он является решением исходного уравнения.

Для серии корней $x_k = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k$ проверим, при каких целых значениях $k$ выполняется неравенство $x_k > -4$.

• При $k = 0$: $x_0 = \frac{\pi}{3} \approx \frac{3,14}{3} \approx 1,05$. $1,05 > -4$ (верно).
• При $k = 1$: $x_1 = -\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3} \approx 2,09$. $2,09 > -4$ (верно).
• При всех $k > 1$, значения $x_k$ будут только увеличиваться и, следовательно, будут больше -4.
• При $k = -1$: $x_{-1} = -\frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{4\pi}{3} \approx -4,18$. $-4,18 < -4$ (неверно).
• При всех $k < -1$, значения $x_k$ будут еще меньше и также не будут удовлетворять ОДЗ.

Таким образом, для этой серии решений подходят только те, где $k$ — целое неотрицательное число, то есть $k \ge 0$.

Объединяя все найденные решения, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = -3$; $x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}, k \ge 0$.

б) $(\sin 2x + \cos 2x)(x - 8\sqrt{2x-15}) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом определен. Найдем ОДЗ.

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$2x - 15 \ge 0 \implies 2x \ge 15 \implies x \ge 7,5$

Рассмотрим два случая, приравнивая каждый множитель к нулю.

1. $\sin 2x + \cos 2x = 0$.

Это однородное тригонометрическое уравнение. Если предположить, что $\cos 2x = 0$, то из уравнения следует, что и $\sin 2x = 0$, что невозможно, так как $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Следовательно, $\cos 2x \ne 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos 2x$:

$\frac{\sin 2x}{\cos 2x} + 1 = 0$

$\tan 2x = -1$

$2x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Отберем корни, удовлетворяющие ОДЗ ($x \ge 7,5$):

$-\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2} \ge 7,5$

$\frac{\pi k}{2} \ge 7,5 + \frac{\pi}{8}$

$\pi k \ge 15 + \frac{\pi}{4}$

$k \ge \frac{15}{\pi} + \frac{1}{4}$

Используя приближенное значение $\pi \approx 3,14$, оценим правую часть:

$k \ge \frac{15}{3,14} + 0,25 \approx 4,777 + 0,25 = 5,027$

Так как $k$ — целое число, наименьшее подходящее значение $k=6$. Таким образом, решения из этой серии: $x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}, k \ge 6$.

2. $x - 8\sqrt{2x-15} = 0$.

$x = 8\sqrt{2x-15}$

Согласно ОДЗ, $x \ge 7,5$, поэтому обе части уравнения неотрицательны. Можем возвести обе части в квадрат:

$x^2 = (8\sqrt{2x-15})^2$

$x^2 = 64(2x-15)$

$x^2 = 128x - 960$

$x^2 - 128x + 960 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-128)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 960 = 16384 - 3840 = 12544$

$\sqrt{D} = \sqrt{12544} = 112$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{128 \pm 112}{2}$

$x_1 = \frac{128 + 112}{2} = \frac{240}{2} = 120$

$x_2 = \frac{128 - 112}{2} = \frac{16}{2} = 8$

Проверим оба корня на соответствие ОДЗ ($x \ge 7,5$):

• $x_1 = 120$: $120 \ge 7,5$ (верно).
• $x_2 = 8$: $8 \ge 7,5$ (верно).

Оба корня являются решениями.

Объединяя все найденные решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x = 8$; $x = 120$; $x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}, k \ge 6$.