Номер 27.53, страница 172, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 27. Общие методы решения уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 27.53, страница 172.

○27.53. a) $2 - x - \sqrt[5]{x} = 0;$

б) $\log_5 x - 1 + (x - 5)^3 = 0.$

a) Рассмотрим уравнение $2 - x - \sqrt[5]{x} = 0$. Область определения данного уравнения — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$), так как корень пятой степени определен для любого числа. Рассмотрим функцию $f(x) = 2 - x - \sqrt[5]{x}$. Нам нужно найти нули этой функции. Для этого исследуем её на монотонность с помощью производной: $f'(x) = (2 - x - x^{1/5})' = -1 - \frac{1}{5}x^{-4/5} = -1 - \frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}}$. Поскольку $x^4 \ge 0$ для любого $x$, то и $\sqrt[5]{x^4} \ge 0$. Знаменатель $5\sqrt[5]{x^4}$ положителен для всех $x \neq 0$. Следовательно, выражение $\frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}}$ является положительным для всех $x \neq 0$. Таким образом, производная $f'(x) = -1 - (\text{положительное число})$ всегда отрицательна ($f'(x) < 0$) для всех $x$ из области определения, кроме $x=0$ (где она не определена). Это означает, что функция $f(x)$ является строго убывающей на всей своей области определения $(-\infty, \infty)$. Строго монотонная функция может пересекать ось абсцисс не более одного раза, следовательно, уравнение $f(x)=0$ имеет не более одного корня. Найдем этот корень методом подбора. Проверим целое значение $x=1$: $2 - 1 - \sqrt[5]{1} = 2 - 1 - 1 = 0$. Равенство выполняется, значит $x=1$ является корнем уравнения. Поскольку мы доказали, что корень может быть только один, то $x=1$ является единственным решением.
Ответ: $1$.

б) Рассмотрим уравнение $\log_5 x - 1 + (x - 5)^3 = 0$. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным, поэтому $x > 0$. Рассмотрим функцию $f(x) = \log_5 x - 1 + (x - 5)^3$ на её области определения $x \in (0, \infty)$. Для определения количества решений исследуем функцию на монотонность с помощью производной: $f'(x) = (\log_5 x - 1 + (x - 5)^3)' = (\log_5 x)' + ((x-5)^3)' - (1)'$. Производная логарифма: $(\log_5 x)' = \frac{1}{x \ln 5}$. Производная степенной функции: $((x-5)^3)' = 3(x-5)^2 \cdot (x-5)' = 3(x-5)^2$. Таким образом, $f'(x) = \frac{1}{x \ln 5} + 3(x-5)^2$. На ОДЗ ($x > 0$) имеем: 1. $\frac{1}{x \ln 5} > 0$, так как $x > 0$ и $\ln 5 > 0$. 2. $3(x-5)^2 \ge 0$, так как квадрат любого числа неотрицателен. Равенство нулю достигается только при $x=5$. Сумма строго положительного и неотрицательного слагаемых всегда строго положительна. Следовательно, $f'(x) > 0$ для всех $x$ из области определения. Это означает, что функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей своей области определения. Строго возрастающая функция может иметь не более одного корня. Найдем этот корень методом подбора. Наличие слагаемого $(x-5)^3$ подсказывает проверить значение $x=5$. Подставим $x=5$ в исходное уравнение: $\log_5 5 - 1 + (5 - 5)^3 = 1 - 1 + 0^3 = 0$. Равенство верное, значит $x=5$ является корнем уравнения. Так как решение единственное, то $x=5$ — единственный корень.
Ответ: $5$.