Номер 27.56, страница 173, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 27. Общие методы решения уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 27.56, страница 173.

27.56. a) $log_2 (x^2 - 4x + 8) = \sin \frac{5\pi x}{4} - \cos \frac{\pi x}{2};$

б) $log_3 (x^2 + 4x + 13) = \cos \pi x - \sin \frac{\pi x}{4}.$

a)

Рассмотрим данное уравнение: $\log_2 (x^2 - 4x + 8) = \sin \frac{5\pi x}{4} - \cos \frac{\pi x}{2}$.

Этот тип уравнений, содержащий разнородные функции (логарифмическую и тригонометрические), часто решается методом оценки. Проанализируем левую и правую части уравнения.

Левая часть (ЛЧ): $f(x) = \log_2 (x^2 - 4x + 8)$.

Аргумент логарифма $g(x) = x^2 - 4x + 8$ является квадратичной функцией, график которой — парабола с ветвями вверх. Найдем ее наименьшее значение, которое достигается в вершине. Координата вершины параболы: $x_v = - \frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.

Наименьшее значение аргумента логарифма равно $g(2) = 2^2 - 4(2) + 8 = 4 - 8 + 8 = 4$.

Поскольку логарифмическая функция с основанием 2 является возрастающей, ее наименьшее значение достигается при наименьшем значении ее аргумента. Таким образом, наименьшее значение левой части уравнения равно $\log_2(4) = 2$.

Следовательно, для любого действительного $x$ выполняется неравенство: $\log_2 (x^2 - 4x + 8) \ge 2$.

Правая часть (ПЧ): $h(x) = \sin \frac{5\pi x}{4} - \cos \frac{\pi x}{2}$.

Область значений функций синуса и косинуса — отрезок $[-1, 1]$. Наибольшее значение выражения $\sin \alpha - \cos \beta$ достигается, когда $\sin \alpha = 1$ и $\cos \beta = -1$. Это значение равно $1 - (-1) = 2$.

Следовательно, для любого действительного $x$ выполняется неравенство: $\sin \frac{5\pi x}{4} - \cos \frac{\pi x}{2} \le 2$.

Исходное равенство $\log_2 (x^2 - 4x + 8) = \sin \frac{5\pi x}{4} - \cos \frac{\pi x}{2}$ возможно тогда и только тогда, когда обе его части одновременно равны 2. Это приводит к системе уравнений:

$\begin{cases} \log_2 (x^2 - 4x + 8) = 2 \\ \sin \frac{5\pi x}{4} - \cos \frac{\pi x}{2} = 2 \end{cases}$

Решим первое уравнение системы. Оно выполняется, когда левая часть достигает своего минимума, то есть при $x = 2$.

Проверим, обращается ли правая часть в 2 при $x=2$. Подставим $x=2$ во второе уравнение системы:

$\sin \frac{5\pi \cdot 2}{4} - \cos \frac{\pi \cdot 2}{2} = \sin \frac{5\pi}{2} - \cos \pi = \sin (2\pi + \frac{\pi}{2}) - \cos \pi = \sin \frac{\pi}{2} - \cos \pi = 1 - (-1) = 2$.

Условие выполняется. Так как левая часть равна 2 только при $x=2$, а правая часть при этом значении $x$ также равна 2, то $x=2$ является единственным решением уравнения.

Ответ: $x=2$.

б)

Рассмотрим данное уравнение: $\log_3 (x^2 + 4x + 13) = \cos \pi x - \sin \frac{\pi x}{4}$.

Применим метод оценки, как и в предыдущем пункте.

Левая часть (ЛЧ): $f(x) = \log_3 (x^2 + 4x + 13)$.

Аргумент логарифма $g(x) = x^2 + 4x + 13$ — это парабола с ветвями вверх. Ее наименьшее значение достигается в вершине. Координата вершины: $x_v = - \frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.

Наименьшее значение аргумента: $g(-2) = (-2)^2 + 4(-2) + 13 = 4 - 8 + 13 = 9$.

Функция $\log_3(y)$ является возрастающей, поэтому наименьшее значение левой части равно $\log_3(9) = 2$.

Таким образом, для любого действительного $x$ имеем: $\log_3 (x^2 + 4x + 13) \ge 2$.

Правая часть (ПЧ): $h(x) = \cos \pi x - \sin \frac{\pi x}{4}$.

Наибольшее значение выражения $\cos \alpha - \sin \beta$ достигается, когда $\cos \alpha = 1$ и $\sin \beta = -1$. Это значение равно $1 - (-1) = 2$.

Таким образом, для любого действительного $x$ имеем: $\cos \pi x - \sin \frac{\pi x}{4} \le 2$.

Равенство в исходном уравнении возможно только в том случае, если обе части равны 2. Составим систему:

$\begin{cases} \log_3 (x^2 + 4x + 13) = 2 \\ \cos \pi x - \sin \frac{\pi x}{4} = 2 \end{cases}$

Первое уравнение системы выполняется, когда левая часть достигает своего минимума, то есть при $x = -2$.

Проверим, выполняется ли второе уравнение при $x=-2$. Подставим $x=-2$ в выражение для правой части:

$\cos(\pi (-2)) - \sin(\frac{\pi (-2)}{4}) = \cos(-2\pi) - \sin(-\frac{\pi}{2}) = \cos(2\pi) + \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 + 1 = 2$.

Условие выполняется. Левая часть равна 2 только при $x=-2$, и при этом значении $x$ правая часть также равна 2. Следовательно, $x=-2$ — единственное решение.

Ответ: $x=-2$.