Номер 28.2, страница 173, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 28. Равносильность неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 28.2, страница 173.

28.2. Придумайте три неравенства-следствия данного неравенства:

а) $log_{0,2} x < 0;$

б) $10^{x-3} < 1.$

а) Рассмотрим неравенство $ \log_{0.2} x < 0 $.

Сначала решим данное неравенство, чтобы найти его множество решений.
1. Область допустимых значений (ОДЗ): аргумент логарифма должен быть строго положительным, то есть $ x > 0 $.
2. Представим правую часть неравенства в виде логарифма с основанием 0,2: $ 0 = \log_{0.2} 1 $.
3. Неравенство принимает вид: $ \log_{0.2} x < \log_{0.2} 1 $.
4. Так как основание логарифма $ 0.2 $ находится в интервале $ (0, 1) $, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства необходимо изменить на противоположный: $ x > 1 $.
5. Учитывая ОДЗ ($ x > 0 $), получаем, что решение исходного неравенства есть интервал $ (1, \infty) $.

Неравенство-следствие — это такое неравенство, которому удовлетворяет любое решение исходного неравенства. Это означает, что множество решений исходного неравенства $ (1, \infty) $ должно являться подмножеством множества решений неравенства-следствия. Приведем три таких примера.

1. Неравенство $ x > 0 $. Его решением является интервал $ (0, \infty) $. Так как $ (1, \infty) $ является подмножеством $ (0, \infty) $, то $ x > 0 $ является следствием исходного неравенства. Это неравенство совпадает с ОДЗ исходного.

2. Неравенство $ x^2 > 1 $. Решением этого неравенства является объединение интервалов $ (-\infty, -1) \cup (1, \infty) $. Множество решений $ (1, \infty) $ полностью содержится в этом объединении, следовательно, $ x^2 > 1 $ является неравенством-следствием.

3. Неравенство $ x - 1 > -10 $. Решением этого линейного неравенства является $ x > -9 $, или интервал $ (-9, \infty) $. Поскольку $ (1, \infty) \subset (-9, \infty) $, данное неравенство также является следствием.

Ответ: например, $ x > 0 $; $ x^2 > 1 $; $ x > -9 $.

б) Рассмотрим неравенство $ 10^{x-3} < 1 $.

Сначала решим данное показательное неравенство.
1. Представим число 1 в виде степени с основанием 10: $ 1 = 10^0 $.
2. Неравенство принимает вид: $ 10^{x-3} < 10^0 $.
3. Так как основание степени $ 10 > 1 $, показательная функция является возрастающей. Следовательно, при переходе от сравнения степеней к сравнению их показателей знак неравенства сохраняется: $ x - 3 < 0 $.
4. Решая это линейное неравенство, получаем $ x < 3 $. Множество решений исходного неравенства — интервал $ (-\infty, 3) $.

Теперь придумаем три неравенства-следствия. Их множество решений должно содержать интервал $ (-\infty, 3) $.

1. Неравенство $ x < 4 $. Его решением является интервал $ (-\infty, 4) $. Так как $ (-\infty, 3) \subset (-\infty, 4) $, это неравенство является следствием исходного.

2. Неравенство $ (x-3)(x-5) > 0 $. Решением этого квадратного неравенства, решенного методом интервалов, является объединение $ (-\infty, 3) \cup (5, \infty) $. Множество решений исходного неравенства $ (-\infty, 3) $ является частью этого множества, значит, это неравенство-следствие.

3. Неравенство $ x^2+5 > 0 $. Это неравенство выполняется для любого действительного числа $ x $, так как $ x^2 \ge 0 $ для всех $ x $, и, следовательно, $ x^2+5 \ge 5 > 0 $. Множеством решений является вся числовая прямая $ (-\infty, \infty) $. Интервал $ (-\infty, 3) $ является подмножеством $ (-\infty, \infty) $, поэтому это также неравенство-следствие.

Ответ: например, $ x < 4 $; $ (x-3)(x-5) > 0 $; $ x^2+5 > 0 $.