Номер 28.3, страница 173, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 28. Равносильность неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 28.3, страница 173.

28.3. Являются ли равносильными неравенства:

а) $ \sin x + 2 \log_3 x > 20 $ и $ \sin x > 20 - 2 \log_3 x; $

б) $ \frac{\sin x}{\sqrt{x^2 + 1}} \geq 1 $ и $ \sin x \geq \sqrt{x^2 + 1}; $

в) $ 13 - 13^{x^2 - 4} \geq 10^x $ и $ 13 \geq 10^x + 13^{x^2 - 4}; $

г) $ 10^{4x - 1} \cdot \lg (x^2 - 4) < 0 $ и $ \lg (x^2 - 4) < 0? $

а) Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают. Сравним неравенства $ \sin x + 2 \log_3 x > 20 $ и $ \sin x > 20 - 2 \log_3 x $. Второе неравенство можно получить из первого, перенеся слагаемое $ 2 \log_3 x $ в правую часть с противоположным знаком. Эта операция (сложение или вычитание одного и того же выражения из обеих частей неравенства) является равносильным преобразованием и не изменяет множество решений. Область допустимых значений (ОДЗ) для обоих неравенств определяется наличием логарифма $ \log_3 x $, что требует выполнения условия $ x > 0 $. Так как ОДЗ у неравенств совпадает и одно получено из другого равносильным преобразованием, они являются равносильными. Ответ: да, являются.

б) Сравним неравенства $ \frac{\sin x}{\sqrt{x^2 + 1}} \ge 1 $ и $ \sin x \ge \sqrt{x^2 + 1} $. Второе неравенство можно получить из первого умножением обеих частей на выражение $ \sqrt{x^2 + 1} $. Такое преобразование является равносильным тогда и только тогда, когда выражение, на которое мы умножаем, строго положительно. Исследуем знак выражения $ \sqrt{x^2 + 1} $. Поскольку $ x^2 \ge 0 $ для любого действительного $ x $, то $ x^2 + 1 \ge 1 $, и, следовательно, $ \sqrt{x^2 + 1} \ge 1 $. Таким образом, множитель $ \sqrt{x^2 + 1} $ всегда строго положителен. Значит, умножение на него является равносильным преобразованием. ОДЗ для первого неравенства: знаменатель $ \sqrt{x^2 + 1} $ не должен быть равен нулю, что выполняется всегда ($ \sqrt{x^2+1} \ge 1 $). ОДЗ для второго неравенства также все действительные числа. Так как ОДЗ обоих неравенств совпадают ($ x \in \mathbb{R} $) и преобразование равносильно, то и неравенства равносильны. Отметим, что оба неравенства не имеют решений, поскольку $ \sin x \le 1 $, а $ \sqrt{x^2+1} \ge 1 $, и равенство $ \sin x = \sqrt{x^2+1} = 1 $ невозможно (оно бы требовало одновременного выполнения условий $ x=0 $ и $ \sin x = 1 $, что неверно, так как $ \sin 0 = 0 $). Множества решений обоих неравенств пусты ($ \emptyset $), что также подтверждает их равносильность. Ответ: да, являются.

в) Сравним неравенства $ 13 - 13^{x^2-4} \ge 10^x $ и $ 13 \ge 10^x + 13^{x^2-4} $. Второе неравенство получается из первого путем переноса слагаемого $ -13^{x^2-4} $ из левой части в правую, что равносильно прибавлению выражения $ 13^{x^2-4} $ к обеим частям неравенства. Это преобразование является равносильным. Показательные функции $ 10^x $ и $ 13^{x^2-4} $ определены для всех действительных значений $ x $. Следовательно, ОДЗ для обоих неравенств — это множество всех действительных чисел ($ x \in \mathbb{R} $). Поскольку одно неравенство получено из другого равносильным преобразованием и их ОДЗ совпадают, эти неравенства равносильны. Ответ: да, являются.

г) Сравним неравенства $ 10^{4x-1} \cdot \lg(x^2 - 4) < 0 $ и $ \lg(x^2 - 4) < 0 $. Второе неравенство можно получить из первого, разделив обе части на множитель $ 10^{4x-1} $. Деление неравенства на выражение является равносильным преобразованием, если это выражение сохраняет знак, и в данном случае, если оно строго положительно. Показательная функция с основанием 10 ($ 10 > 1 $) всегда принимает строго положительные значения, то есть $ 10^{4x-1} > 0 $ для любого действительного $ x $. Следовательно, деление на $ 10^{4x-1} $ — это равносильное преобразование, сохраняющее знак неравенства. ОДЗ обоих неравенств определяется наличием десятичного логарифма $ \lg(x^2 - 4) $, аргумент которого должен быть строго положительным: $ x^2 - 4 > 0 $, что равносильно $ x^2 > 4 $, или $ |x| > 2 $. Таким образом, ОДЗ для обоих неравенств совпадает: $ x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty) $. Так как ОДЗ совпадают и преобразование является равносильным, данные неравенства равносильны. Ответ: да, являются.