Номер 28.8, страница 174, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 28. Равносильность неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 28.8, страница 174.

Решите систему неравенств:

28.8. a) $\begin{cases} 3x - 11 > 2x + 13, \\ 17x + 9 < 9x + 99; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 6x + 2 \le 4x + 24, \\ 2x - 1 \ge x + 7. \end{cases}$

а)

Для решения системы необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

1. Решим первое неравенство:

$3x - 11 > 2x + 13$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$3x - 2x > 13 + 11$

$x > 24$

2. Решим второе неравенство:

$17x + 9 < 9x + 99$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$17x - 9x < 99 - 9$

$8x < 90$

Разделим обе части на 8:

$x < \frac{90}{8}$

$x < \frac{45}{4}$

$x < 11.25$

3. Найдем общее решение системы.

Мы получили систему из двух простых неравенств:

$\begin{cases} x > 24 \\ x < 11.25 \end{cases}$

Необходимо найти значения $x$, которые одновременно больше 24 и меньше 11.25. Таких значений не существует, так как множество решений первого неравенства $(24; +\infty)$ и множество решений второго неравенства $(-\infty; 11.25)$ не пересекаются.

Ответ: решений нет.

б)

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

1. Решим первое неравенство:

$6x + 2 \le 4x + 24$

Перенесем слагаемые с $x$ влево, а числа вправо:

$6x - 4x \le 24 - 2$

$2x \le 22$

Разделим обе части на 2:

$x \le 11$

2. Решим второе неравенство:

$2x - 1 \ge x + 7$

Перенесем слагаемые с $x$ влево, а числа вправо:

$2x - x \ge 7 + 1$

$x \ge 8$

3. Найдем пересечение решений.

Мы получили систему:

$\begin{cases} x \le 11 \\ x \ge 8 \end{cases}$

Общим решением является множество всех чисел, которые больше или равны 8 и одновременно меньше или равны 11. Это можно записать в виде двойного неравенства:

$8 \le x \le 11$

Это соответствует числовому промежутку $[8; 11]$.

Ответ: $x \in [8; 11]$.