Номер 28.6, страница 174, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 28. Равносильность неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 28.6, страница 174.

○28.6.

a) $log_{\frac{1}{\pi}}(2x^2 - 5x) \ge log_{\frac{1}{\pi}}(2x - 3);$

б) $lg(5x^2 - 15x) \le lg(2x - 6).$

а) $\log_{\frac{1}{\pi}}(2x^2 - 5x) \ge \log_{\frac{1}{\pi}}(2x - 3)$

Основание логарифма $a = \frac{1}{\pi}$. Так как $\pi \approx 3.14159$, то $0 < \frac{1}{\pi} < 1$. Логарифмическая функция с таким основанием является убывающей. Это означает, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства необходимо изменить на противоположный. Также необходимо учесть, что аргументы логарифмов должны быть строго положительными (область допустимых значений, ОДЗ).

Таким образом, исходное неравенство равносильно следующей системе неравенств:

$\begin{cases} 2x^2 - 5x > 0 \\ 2x - 3 > 0 \\ 2x^2 - 5x \le 2x - 3 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

1. Решим $2x - 3 > 0$:

$2x > 3$

$x > 1.5$

2. Решим $2x^2 - 5x > 0$:

$x(2x - 5) > 0$

Корни соответствующего уравнения $x(2x-5)=0$ равны $x_1=0$ и $x_2=2.5$. Графиком функции $y=2x^2-5x$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при значениях $x$ вне интервала между корнями.

$x \in (-\infty, 0) \cup (2.5, +\infty)$

3. Решим $2x^2 - 5x \le 2x - 3$:

$2x^2 - 7x + 3 \le 0$

Найдем корни квадратного уравнения $2x^2 - 7x + 3 = 0$.
Дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 = 5^2$.
Корни: $x_1 = \frac{7 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0.5$, $x_2 = \frac{7 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$.
Графиком функции $y=2x^2-7x+3$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $\le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни.

$x \in [0.5, 3]$

Теперь найдем пересечение решений всех трех неравенств. Для этого найдем общую область для интервалов: $(1.5, +\infty)$, $(-\infty, 0) \cup (2.5, +\infty)$ и $[0.5, 3]$.
Пересечение первых двух условий ($x > 1.5$ и $x \in (-\infty, 0) \cup (2.5, +\infty)$) дает нам интервал $(2.5, +\infty)$.
Далее, найдем пересечение этого результата с решением третьего неравенства: $(2.5, +\infty) \cap [0.5, 3]$.
Общим решением является интервал $(2.5, 3]$.

Ответ: $(2.5, 3]$.

б) $\lg(5x^2 - 15x) \le \lg(2x - 6)$

Основание десятичного логарифма $a = 10$. Так как $a > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Следовательно, при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется. Неравенство равносильно системе, учитывающей ОДЗ (аргументы должны быть положительными).

$\begin{cases} 5x^2 - 15x > 0 \\ 2x - 6 > 0 \\ 5x^2 - 15x \le 2x - 6 \end{cases}$

Заметим, что если выполняются условия $5x^2 - 15x > 0$ и $5x^2 - 15x \le 2x - 6$, то из этого автоматически следует, что $2x - 6 > 0$. Поэтому систему можно упростить, оставив только первое и третье неравенства:

$\begin{cases} 5x^2 - 15x > 0 \\ 5x^2 - 15x \le 2x - 6 \end{cases}$

Решим каждое неравенство.

1. Решим $5x^2 - 15x > 0$:

$5x(x - 3) > 0$

Корни уравнения $5x(x - 3) = 0$ равны $x_1=0$ и $x_2=3$. Это парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $x$ вне интервала между корнями.

$x \in (-\infty, 0) \cup (3, +\infty)$

2. Решим $5x^2 - 15x \le 2x - 6$:

$5x^2 - 17x + 6 \le 0$

Найдем корни уравнения $5x^2 - 17x + 6 = 0$.
Дискриминант: $D = (-17)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 6 = 289 - 120 = 169 = 13^2$.
Корни: $x_1 = \frac{17 - 13}{2 \cdot 5} = \frac{4}{10} = 0.4$, $x_2 = \frac{17 + 13}{2 \cdot 5} = \frac{30}{10} = 3$.
Это парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $\le 0$ выполняется на отрезке между корнями.

$x \in [0.4, 3]$

Теперь найдем пересечение решений системы: $x \in (-\infty, 0) \cup (3, +\infty)$ и $x \in [0.4, 3]$.
Множество $(-\infty, 0) \cup (3, +\infty)$ не имеет общих точек с отрезком $[0.4, 3]$. Следовательно, их пересечение является пустым множеством.

Ответ: решений нет (или $\emptyset$).