Номер 28.7, страница 174, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 28. Равносильность неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 28.7, страница 174.

28.7. a) $2^{\sqrt{x+4}} \ge \frac{1}{2}\sqrt{128};$

б) $0,5^{\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}} \le 1.$

а)

Решим показательное неравенство $2^{\sqrt{x+4}} \ge \frac{1}{2}\sqrt{128}$.

В первую очередь определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение, находящееся под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным:
$x+4 \ge 0$
$x \ge -4$.

Далее, упростим правую часть неравенства, представив её как степень с основанием 2.
$128 = 2^7$, поэтому $\sqrt{128} = \sqrt{2^7} = 2^{\frac{7}{2}}$.
Тогда правая часть равна:
$\frac{1}{2}\sqrt{128} = 2^{-1} \cdot 2^{\frac{7}{2}} = 2^{-1+\frac{7}{2}} = 2^{\frac{5}{2}}$.

Теперь неравенство имеет вид:
$2^{\sqrt{x+4}} \ge 2^{\frac{5}{2}}$.

Основание степени $2$ больше единицы ($2 > 1$), поэтому показательная функция $y=2^t$ является возрастающей. Это означает, что при переходе от степеней к их показателям знак неравенства сохраняется:
$\sqrt{x+4} \ge \frac{5}{2}$.

Обе части этого иррационального неравенства неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:
$(\sqrt{x+4})^2 \ge (\frac{5}{2})^2$
$x+4 \ge \frac{25}{4}$
$x \ge \frac{25}{4} - 4$
$x \ge \frac{25}{4} - \frac{16}{4}$
$x \ge \frac{9}{4}$.

Сравним полученное решение с ОДЗ: $x \ge \frac{9}{4}$ и $x \ge -4$. Так как $\frac{9}{4} > -4$, то итоговое решение совпадает с $x \ge \frac{9}{4}$.

Ответ: $x \in [\frac{9}{4}, +\infty)$.

б)

Решим показательное неравенство $0,5^{\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}} \le 1$.

Представим обе части неравенства как степени с одинаковым основанием. В качестве основания выберем $0,5$.
$0,5 = \frac{1}{2}$
$1 = (0,5)^0$.
Неравенство принимает вид:
$0,5^{\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}} \le 0,5^0$.

Основание степени $0,5$ находится в интервале $(0, 1)$, поэтому показательная функция $y=(0,5)^t$ является убывающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства необходимо изменить на противоположный:
$\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \ge 0$.

Отсюда получаем простое тригонометрическое неравенство:
$\sin x \ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Чтобы решить это неравенство, рассмотрим единичную окружность. Сначала найдем значения $x$, при которых $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Эти значения соответствуют углам $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$ и $x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Нам нужны все углы, для которых значение синуса (ордината точки на окружности) больше или равно $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. На единичной окружности это дуга, которая начинается в точке, соответствующей углу $-\frac{\pi}{3}$, и идет против часовой стрелки до точки, соответствующей углу $\frac{4\pi}{3}$.

Таким образом, решением неравенства является объединение интервалов:
$-\frac{\pi}{3} + 2\pi k \le x \le \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.

Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{4\pi}{3} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.