Номер 28.1, страница 173, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 28. Равносильность неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 28.1, страница 173.

28.1. Придумайте три неравенства, равносильных неравенству:

a) $x^2 - 9 \le 0$;

б) $\frac{1}{x} < \frac{1}{3}$.

а)

Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают. Сначала найдем множество решений исходного неравенства $x^2 - 9 \le 0$.

Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов: $(x-3)(x+3) \le 0$.

Корнями соответствующего уравнения $(x-3)(x+3) = 0$ являются $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$. Графиком функции $y = x^2 - 9$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, функция принимает неположительные значения на отрезке между корнями. Таким образом, решением неравенства является отрезок $[-3, 3]$, или $-3 \le x \le 3$.

Теперь придумаем три неравенства, которые имеют такое же множество решений.

1. Перенесем слагаемое $-9$ в правую часть неравенства: $x^2 \le 9$. Это неравенство является результатом равносильного преобразования. Его решение также $|x| \le 3$, что соответствует промежутку $[-3, 3]$.

2. Умножим обе части исходного неравенства на отрицательное число $-1$ и сменим знак неравенства на противоположный: $-(x^2 - 9) \ge 0$, что можно записать как $9 - x^2 \ge 0$. Это неравенство также имеет решение $[-3, 3]$.

3. Неравенство $|x| \le 3$ по определению модуля равносильно двойному неравенству $-3 \le x \le 3$, что и является решением исходного неравенства.

Ответ: например, $x^2 \le 9$; $9 - x^2 \ge 0$; $|x| \le 3$.

б)

Найдем множество решений неравенства $\frac{1}{x} < \frac{1}{3}$. Для этого перенесем все члены в одну сторону и приведем их к общему знаменателю.

$\frac{1}{x} - \frac{1}{3} < 0$

$\frac{3 - x}{3x} < 0$

Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов. Определим точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль: $3-x=0 \implies x=3$ и $3x=0 \implies x=0$. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, 3)$ и $(3, \infty)$.

Определим знак дроби $\frac{3-x}{3x}$ в каждом из интервалов:
- при $x < 0$ (например, $x=-1$), имеем $\frac{3-(-1)}{3(-1)} = \frac{4}{-3} < 0$. Интервал является частью решения.
- при $0 < x < 3$ (например, $x=1$), имеем $\frac{3-1}{3(1)} = \frac{2}{3} > 0$. Интервал не является частью решения.
- при $x > 3$ (например, $x=4$), имеем $\frac{3-4}{3(4)} = \frac{-1}{12} < 0$. Интервал является частью решения.

Таким образом, множество решений исходного неравенства есть объединение интервалов $(-\infty, 0) \cup (3, \infty)$.

Придумаем три равносильных неравенства.

1. Неравенство, полученное в процессе решения путем переноса члена в левую часть: $\frac{1}{x} - \frac{1}{3} < 0$. Оно очевидно равносильно исходному.

2. Неравенство, полученное после приведения к общему знаменателю: $\frac{3-x}{3x} < 0$. Умножив его на положительное число 3, получим более простое равносильное неравенство: $\frac{3-x}{x} < 0$.

3. Умножим неравенство $\frac{3-x}{x} < 0$ на -1 и изменим знак на противоположный: $\frac{-(3-x)}{x} > 0$, что равносильно $\frac{x-3}{x} > 0$. Это неравенство имеет то же самое множество решений.

Ответ: например, $\frac{1}{x} - \frac{1}{3} < 0$; $\frac{3-x}{x} < 0$; $\frac{x-3}{x} > 0$.