Номер 27.59, страница 173, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 27. Общие методы решения уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 27.59, страница 173.

27.59. Найдите нули функции:

а) $y = \ln(3x - 2x^2) - \sqrt[4]{x^3 + x^2 - 2}$;

б) $y = |x^3 + x^2 - 10x + 8| + \sqrt{\lg (\sin \pi x + x^2 - 15)}$.

a) $y = \ln(3x - 2x^2) - \sqrt[4]{x^3 + x^2 - 2}$

Чтобы найти нули функции, необходимо решить уравнение $y=0$:

$\ln(3x - 2x^2) - \sqrt[4]{x^3 + x^2 - 2} = 0$

$\ln(3x - 2x^2) = \sqrt[4]{x^3 + x^2 - 2}$

Найдем область определения функции (ОДЗ). Для этого должны выполняться два условия:

1. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$3x - 2x^2 > 0$

$x(3 - 2x) > 0$

Решая это неравенство методом интервалов, получаем $x \in (0; 1.5)$.

2. Подрадикальное выражение для корня четвертой степени должно быть неотрицательным:

$x^3 + x^2 - 2 \ge 0$

Найдем корни многочлена $P(x) = x^3 + x^2 - 2$. Проверкой делителей свободного члена (-2) находим, что $x=1$ является корнем: $P(1) = 1^3 + 1^2 - 2 = 0$.

Разделим многочлен на $(x-1)$:

$(x^3 + x^2 - 2) : (x - 1) = x^2 + 2x + 2$

Таким образом, $x^3 + x^2 - 2 = (x-1)(x^2 + 2x + 2)$.

Квадратный трехчлен $x^2 + 2x + 2$ имеет дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = -4 < 0$. Так как старший коэффициент положителен, $x^2 + 2x + 2 > 0$ для всех $x$.

Следовательно, знак выражения $(x-1)(x^2 + 2x + 2)$ совпадает со знаком $(x-1)$. Неравенство $x-1 \ge 0$ дает $x \ge 1$.

Объединяя оба условия для ОДЗ, получаем пересечение интервалов $(0; 1.5)$ и $[1; \infty)$:

ОДЗ: $x \in [1; 1.5)$.

Вернемся к уравнению $\ln(3x - 2x^2) = \sqrt[4]{x^3 + x^2 - 2}$.

Рассмотрим левую часть уравнения $f(x) = \ln(3x - 2x^2)$. На промежутке $[1; 1.5)$ функция $u(x) = 3x - 2x^2$ убывает (вершина параболы в точке $x=0.75$), а функция $\ln(u)$ возрастающая. Следовательно, $f(x)$ является убывающей функцией на ОДЗ.

Рассмотрим правую часть уравнения $h(x) = \sqrt[4]{x^3 + x^2 - 2}$. На промежутке $[1; 1.5)$ функция $v(x) = x^3 + x^2 - 2$ возрастает (ее производная $v'(x)=3x^2+2x > 0$), а функция $\sqrt[4]{v}$ возрастающая. Следовательно, $h(x)$ является возрастающей функцией на ОДЗ.

Уравнение, в котором одна часть является убывающей функцией, а другая — возрастающей, может иметь не более одного корня.

Найдем этот корень подбором, проверив значение $x=1$, которое принадлежит ОДЗ.

При $x=1$:

Левая часть: $\ln(3 \cdot 1 - 2 \cdot 1^2) = \ln(1) = 0$.

Правая часть: $\sqrt[4]{1^3 + 1^2 - 2} = \sqrt[4]{0} = 0$.

Поскольку $0 = 0$, $x=1$ является корнем уравнения.

Так как корень единственный, других нулей у функции нет.

Ответ: $1$.

б) $y = |x^3 + x^2 - 10x + 8| + \sqrt{\lg(\sin(\pi x) + x^2 - 15)}$

Нули функции — это решения уравнения $y=0$.

$|x^3 + x^2 - 10x + 8| + \sqrt{\lg(\sin(\pi x) + x^2 - 15)} = 0$

Функция представляет собой сумму двух слагаемых. Первое слагаемое, модуль, всегда неотрицательно: $|x^3 + x^2 - 10x + 8| \ge 0$. Второе слагаемое, квадратный корень, также всегда неотрицательно: $\sqrt{\lg(\sin(\pi x) + x^2 - 15)} \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда оба слагаемых равны нулю. Таким образом, мы получаем систему уравнений:

$\begin{cases} |x^3 + x^2 - 10x + 8| = 0 \\ \sqrt{\lg(\sin(\pi x) + x^2 - 15)} = 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение системы:

$x^3 + x^2 - 10x + 8 = 0$

Будем искать целые корни среди делителей свободного члена 8: $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$.

Проверка показывает, что корнями являются $x=1$, $x=2$ и $x=-4$:

При $x=1$: $1^3 + 1^2 - 10(1) + 8 = 1+1-10+8 = 0$.

При $x=2$: $2^3 + 2^2 - 10(2) + 8 = 8+4-20+8 = 0$.

При $x=-4$: $(-4)^3 + (-4)^2 - 10(-4) + 8 = -64+16+40+8 = 0$.

Таким образом, решения первого уравнения: $x_1=1, x_2=2, x_3=-4$.

Теперь решим второе уравнение системы:

$\sqrt{\lg(\sin(\pi x) + x^2 - 15)} = 0$

$\lg(\sin(\pi x) + x^2 - 15) = 0$

По определению десятичного логарифма, его значение равно нулю, если аргумент равен 1:

$\sin(\pi x) + x^2 - 15 = 1$

$\sin(\pi x) + x^2 = 16$

Теперь необходимо проверить, какие из найденных корней первого уравнения ($1, 2, -4$) удовлетворяют второму уравнению.

1. Проверяем $x=1$:

$\sin(\pi \cdot 1) + 1^2 = \sin(\pi) + 1 = 0 + 1 = 1$.

$1 \neq 16$. Корень не подходит.

2. Проверяем $x=2$:

$\sin(\pi \cdot 2) + 2^2 = \sin(2\pi) + 4 = 0 + 4 = 4$.

$4 \neq 16$. Корень не подходит.

3. Проверяем $x=-4$:

$\sin(\pi \cdot (-4)) + (-4)^2 = \sin(-4\pi) + 16 = 0 + 16 = 16$.

$16 = 16$. Корень подходит.

Единственное значение $x$, удовлетворяющее обоим уравнениям системы, это $x=-4$. Следовательно, функция имеет единственный нуль.

Ответ: $-4$.