Номер 27.58, страница 173, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 27. Общие методы решения уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 27.58, страница 173.

27.58. а) $0,5x^2 + 34 = 2^3 + \cos \pi x + 6x;$

б) $20x - 100x^2 = 5\sqrt{1 - \operatorname{tg} 2,5\pi x};$

в) $\left|2x^2 - 11x + 5\right| + \operatorname{tg}^2 \pi x = 0;$

г) $7 - \left|2x^2 - 7x + 3\right| = \frac{7}{\cos^2 \pi x}.$

а) $0,5x^2 + 34 = 2^{3+\cos \pi x} + 6x$

Перенесем $6x$ в левую часть уравнения, чтобы разделить переменные:

$0,5x^2 - 6x + 34 = 2^{3+\cos \pi x}$

Рассмотрим левую и правую части уравнения как две отдельные функции.

Левая часть (ЛЧ): $f(x) = 0,5x^2 - 6x + 34$. Это парабола с ветвями вверх. Найдем ее наименьшее значение, которое достигается в вершине.

Координата вершины параболы: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 0,5} = 6$.

Значение функции в вершине: $f(6) = 0,5 \cdot 6^2 - 6 \cdot 6 + 34 = 0,5 \cdot 36 - 36 + 34 = 18 - 36 + 34 = 16$.

Следовательно, наименьшее значение левой части равно 16, то есть $f(x) \ge 16$.

Правая часть (ПЧ): $g(x) = 2^{3+\cos \pi x}$. Оценим ее диапазон значений.

Область значений функции косинуса: $-1 \le \cos \pi x \le 1$.

Тогда для показателя степени: $3 - 1 \le 3 + \cos \pi x \le 3 + 1$, то есть $2 \le 3 + \cos \pi x \le 4$.

Так как функция $y=2^t$ возрастающая, то $2^2 \le 2^{3+\cos \pi x} \le 2^4$, что дает $4 \le g(x) \le 16$.

Следовательно, наибольшее значение правой части равно 16, то есть $g(x) \le 16$.

Равенство $f(x) = g(x)$ возможно только в том случае, когда обе части одновременно равны 16.

$f(x) = 16$ при $x = 6$.

$g(x) = 16$ при $2^{3+\cos \pi x} = 16 = 2^4$, что означает $3 + \cos \pi x = 4$, откуда $\cos \pi x = 1$.

Решением уравнения $\cos \pi x = 1$ являются $x$, для которых $\pi x = 2\pi k$, где $k$ - целое число. Отсюда $x=2k$.

Нам нужно найти значение $x$, которое удовлетворяет обоим условиям: $x=6$ и $x=2k$. Подставляя $k=3$, получаем $x=6$.

Таким образом, единственным решением уравнения является $x=6$.

Ответ: $6$

б) $20x - 100x^2 = 5^{\sqrt{1-\operatorname{tg} 2,5\pi x}}$

Примечание: В условии, вероятно, опечатка, и имеется в виду показательная функция $5^{\sqrt{...}}$, так как в противном случае уравнение не имеет "хороших" решений. Решим задачу в этой предположении.

Рассмотрим левую и правую части уравнения.

ЛЧ: $f(x) = 20x - 100x^2$. Это парабола с ветвями вниз. Преобразуем выражение, выделив полный квадрат:

$f(x) = -100(x^2 - 0,2x) = -100(x^2 - 2 \cdot x \cdot 0,1 + 0,1^2 - 0,1^2) = -100((x-0,1)^2 - 0,01) = 1 - 100(x-0,1)^2 = 1 - (10x-1)^2$.

Поскольку $(10x-1)^2 \ge 0$, максимальное значение ЛЧ равно 1 и достигается при $10x-1=0$, то есть при $x=0,1 = \frac{1}{10}$. Итак, $f(x) \le 1$.

ПЧ: $g(x) = 5^{\sqrt{1-\operatorname{tg} 2,5\pi x}}$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$1-\operatorname{tg} 2,5\pi x \ge 0 \Rightarrow \operatorname{tg} 2,5\pi x \le 1$.

Кроме того, так как $g(x) > 0$, то и $f(x)$ должна быть положительной: $20x - 100x^2 > 0 \Rightarrow 20x(1-5x) > 0$, что выполняется для $x \in (0, \frac{1}{5})$.

Рассмотрим $x=\frac{1}{10}$. Это значение входит в интервал $(0, \frac{1}{5})$.

Подставим $x=\frac{1}{10}$ в обе части уравнения.

ЛЧ: $f(\frac{1}{10}) = 20(\frac{1}{10}) - 100(\frac{1}{10})^2 = 2 - 100(\frac{1}{100}) = 2 - 1 = 1$.

ПЧ: $g(\frac{1}{10}) = 5^{\sqrt{1-\operatorname{tg} (2,5\pi \cdot \frac{1}{10})}} = 5^{\sqrt{1-\operatorname{tg} (\frac{\pi}{4})}} = 5^{\sqrt{1-1}} = 5^0 = 1$.

Поскольку ЛЧ = ПЧ = 1, $x=\frac{1}{10}$ является решением уравнения.

Мы знаем, что ЛЧ $\le 1$. Давайте оценим ПЧ. Из ОДЗ $\operatorname{tg} 2,5\pi x \le 1$. Это означает, что $\sqrt{1-\operatorname{tg} 2,5\pi x} \ge 0$. Так как основание степени $5>1$, то $g(x) = 5^{\sqrt{...}} \ge 5^0 = 1$.

Итак, мы имеем $f(x) \le 1$ и $g(x) \ge 1$. Равенство $f(x) = g(x)$ возможно только тогда, когда $f(x) = 1$ и $g(x) = 1$. Это происходит при $x=\frac{1}{10}$.

Ответ: $0,1$

в) $|2x^2 - 11x + 5| + \operatorname{tg}^2 \pi x = 0$

Уравнение представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых: $|2x^2 - 11x + 5| \ge 0$ и $\operatorname{tg}^2 \pi x \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю. Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} |2x^2 - 11x + 5| = 0 \\ \operatorname{tg}^2 \pi x = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения: $2x^2 - 11x + 5 = 0$.

Найдем корни квадратного уравнения. Дискриминант $D = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 121 - 40 = 81 = 9^2$.

$x = \frac{11 \pm 9}{4}$, откуда $x_1 = \frac{11-9}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{11+9}{4} = \frac{20}{4} = 5$.

Из второго уравнения: $\operatorname{tg} \pi x = 0$.

Это верно, когда $\pi x = \pi n$, где $n$ - целое число. Следовательно, $x = n$. То есть, $x$ должен быть целым числом.

Теперь нужно найти решения, удовлетворяющие обоим уравнениям. Из корней первого уравнения $x_1 = \frac{1}{2}$ и $x_2 = 5$ выберем те, которые являются целыми числами.

$x_1 = \frac{1}{2}$ не является целым числом.

$x_2 = 5$ является целым числом (при $n=5$).

Также необходимо учесть ОДЗ для тангенса: $\cos \pi x \ne 0$, то есть $\pi x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k$ или $x \ne \frac{1}{2} + k$. Корень $x=5$ удовлетворяет этому условию. Корень $x=1/2$ не входит в ОДЗ.

Единственное решение - $x=5$.

Ответ: $5$

г) $7 - |2x^2 - 7x + 3| = \frac{7}{\cos^2 \pi x}$

Проанализируем левую и правую части уравнения.

ЛЧ: $f(x) = 7 - |2x^2 - 7x + 3|$. Так как модуль любого выражения неотрицателен, $|2x^2 - 7x + 3| \ge 0$, то $-|2x^2 - 7x + 3| \le 0$.

Следовательно, $f(x) = 7 - |2x^2 - 7x + 3| \le 7$.

ПЧ: $g(x) = \frac{7}{\cos^2 \pi x}$. ОДЗ: $\cos^2 \pi x \ne 0$, то есть $\cos \pi x \ne 0$.

Область значений функции $y=\cos^2 \alpha$ на ОДЗ есть $(0, 1]$.

Тогда $\frac{1}{\cos^2 \pi x} \ge 1$, и $g(x) = \frac{7}{\cos^2 \pi x} \ge 7$.

Мы получили, что ЛЧ $\le 7$, а ПЧ $\ge 7$. Равенство возможно только в том случае, если обе части равны 7.

$7 - |2x^2 - 7x + 3| = 7 \Rightarrow |2x^2 - 7x + 3| = 0 \Rightarrow 2x^2 - 7x + 3 = 0$.

Найдем корни. $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 = 5^2$.

$x = \frac{7 \pm 5}{4}$, откуда $x_1 = \frac{7-5}{4} = \frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{7+5}{4} = \frac{12}{4} = 3$.

$\frac{7}{\cos^2 \pi x} = 7 \Rightarrow \cos^2 \pi x = 1$.

Это верно, если $\cos \pi x = 1$ или $\cos \pi x = -1$, что в совокупности означает, что $x$ должен быть целым числом ($x=n$, где $n \in \mathbb{Z}$).

Сравним корни первого уравнения с условием целочисленности из второго.

$x_1 = \frac{1}{2}$ не является целым числом. Кроме того, для $x=1/2$ знаменатель $\cos^2(\pi/2)$ обращается в ноль, так что это значение не входит в ОДЗ.

$x_2 = 3$ является целым числом.

Таким образом, единственное решение - $x=3$.

Ответ: $3$