Номер 27.54, страница 172, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 27. Общие методы решения уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 27.54, страница 172.

27.54. a) $\sin \frac{5\pi}{4} x = x^2 - 4x + 5; $

б) $ - \cos 7\pi x = x^2 - 6x + 10. $

a) $\sin\frac{5\pi}{4}x = x^2 - 4x + 5$

Для решения этого уравнения применим метод оценки значений левой и правой частей.

1. Оценим левую часть: $f(x) = \sin\frac{5\pi}{4}x$. Область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$, следовательно, $\sin\frac{5\pi}{4}x \le 1$.

2. Оценим правую часть: $g(x) = x^2 - 4x + 5$. Это квадратичная функция. Выделим полный квадрат, чтобы найти её наименьшее значение: $x^2 - 4x + 5 = (x^2 - 4x + 4) + 1 = (x-2)^2 + 1$. Так как $(x-2)^2 \ge 0$ для любого $x$, то наименьшее значение правой части равно $1$. Таким образом, $x^2 - 4x + 5 \ge 1$.

Равенство в исходном уравнении возможно только в том случае, когда обе части одновременно равны $1$. Это условие эквивалентно системе уравнений:

$\begin{cases} \sin\frac{5\pi}{4}x = 1 \\ x^2 - 4x + 5 = 1 \end{cases}$

Решим второе уравнение системы: $x^2 - 4x + 4 = 0$, что равносильно $(x-2)^2 = 0$. Отсюда получаем единственный корень $x=2$.

Подставим найденное значение $x=2$ в первое уравнение системы, чтобы проверить его истинность:

$\sin(\frac{5\pi}{4} \cdot 2) = \sin(\frac{10\pi}{4}) = \sin(\frac{5\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2} + 2\pi) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.

Равенство $1=1$ выполняется. Следовательно, $x=2$ является единственным решением исходного уравнения.

Ответ: $2$.

б) $-\cos(7\pi x) = x^2 - 6x + 10$

Воспользуемся методом оценки, как и в предыдущем задании.

1. Оценим левую часть: $f(x) = -\cos(7\pi x)$. Область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$, значит $-1 \le \cos(7\pi x) \le 1$. Умножив на $-1$, получаем $-1 \le -\cos(7\pi x) \le 1$.

2. Оценим правую часть: $g(x) = x^2 - 6x + 10$. Выделим полный квадрат: $x^2 - 6x + 10 = (x^2 - 6x + 9) + 1 = (x-3)^2 + 1$. Так как $(x-3)^2 \ge 0$, наименьшее значение правой части равно $1$. Таким образом, $x^2 - 6x + 10 \ge 1$.

Из оценок следует, что равенство может выполняться только тогда, когда обе части уравнения равны $1$, так как $f(x) \le 1$, а $g(x) \ge 1$. Составим систему:

$\begin{cases} -\cos(7\pi x) = 1 \\ x^2 - 6x + 10 = 1 \end{cases}$

Из второго уравнения $x^2 - 6x + 9 = 0$, или $(x-3)^2=0$, находим $x=3$.

Проверим это значение, подставив его в первое уравнение системы: $-\cos(7\pi \cdot 3) = 1$.

Вычислим $\cos(21\pi) = \cos(\pi + 20\pi) = \cos(\pi) = -1$.

Тогда первое уравнение принимает вид $-(-1)=1$, или $1=1$, что является верным равенством. Значит, $x=3$ — единственный корень.

Ответ: $3$.