Номер 27.52, страница 172, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 27. Общие методы решения уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 27.52, страница 172.

27.52. a) $1 + x^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^{|x|}$;

б) $3 - x^2 = 2^{|x|}$.

а) $1 + x^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^{|x|}$

Рассмотрим две функции, соответствующие левой и правой частям уравнения: $y_1 = 1 + x^2$ и $y_2 = \left(\frac{1}{2}\right)^{|x|}$.

Проанализируем функцию $y_1 = 1 + x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Ее вершина находится в точке $(0, 1)$, что является ее точкой минимума. Следовательно, для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство $y_1 \ge 1$. Равенство достигается только при $x=0$.

Проанализируем функцию $y_2 = \left(\frac{1}{2}\right)^{|x|}$. Поскольку основание степени $a = \frac{1}{2}$ находится в интервале $0 < a < 1$, а показатель степени $|x| \ge 0$, то функция является убывающей для $x>0$ и возрастающей для $x<0$ (симметричной относительно оси OY). Максимальное значение функция принимает при $|x|=0$, то есть при $x=0$. Это значение равно $y_2(0) = \left(\frac{1}{2}\right)^0 = 1$. Таким образом, для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство $y_2 \le 1$. Равенство достигается только при $x=0$.

Исходное уравнение $y_1 = y_2$ может иметь решение только в том случае, если обе части одновременно равны. Исходя из анализа функций, это возможно только если $y_1 = y_2 = 1$.

Условие $y_1 = 1$ выполняется при $1 + x^2 = 1$, откуда $x^2 = 0$, то есть $x=0$.

Условие $y_2 = 1$ выполняется при $\left(\frac{1}{2}\right)^{|x|} = 1$, откуда $|x| = 0$, то есть $x=0$.

Поскольку обе части уравнения равны 1 при одном и том же значении $x=0$, это и является единственным решением уравнения.

Ответ: $x=0$.

б) $3 - x^2 = 2^{|x|}$

Рассмотрим функции в левой и правой частях уравнения: $y_1 = 3 - x^2$ и $y_2 = 2^{|x|}$.

Заметим, что обе функции являются четными, так как $y_1(-x) = 3 - (-x)^2 = 3 - x^2 = y_1(x)$ и $y_2(-x) = 2^{|-x|} = 2^{|x|} = y_2(x)$. Это означает, что если $x_0$ является корнем уравнения, то и $-x_0$ также является корнем. Поэтому достаточно найти неотрицательные корни ($x \ge 0$), а затем добавить к ним симметричные отрицательные.

Для $x \ge 0$ уравнение принимает вид: $3 - x^2 = 2^x$.

Рассмотрим поведение функций для $x \ge 0$.

Функция $f(x) = 3 - x^2$ является убывающей на промежутке $[0, +\infty)$.

Функция $g(x) = 2^x$ является возрастающей на всей числовой оси, в том числе и на $[0, +\infty)$.

Убывающая и возрастающая функции могут пересечься не более одного раза. Найдем корень подбором.

Проверим $x=1$:
Левая часть: $3 - 1^2 = 2$.
Правая часть: $2^1 = 2$.
Поскольку $2 = 2$, то $x=1$ является корнем уравнения.

Так как для $x \ge 0$ существует не более одного корня, то $x=1$ — единственный неотрицательный корень.

В силу четности исходных функций, если $x=1$ является корнем, то и $x=-1$ также является корнем. Проверим это:
Левая часть: $3 - (-1)^2 = 3 - 1 = 2$.
Правая часть: $2^{|-1|} = 2^1 = 2$.
Равенство выполняется.

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $x = -1; x = 1$.