Номер 27.45, страница 172, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 27. Общие методы решения уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 27.45, страница 172.

ο27.45. а) $\log_{\frac{10}{7}} (\lg (x + 1) - 1)^{-1} = \log_{0.7} (3 \lg (x + 1) - 1) - \log_{0.7} (\lg (x + 1) + 3);$

б) $\log_{\sqrt{3}} (3x - 2\sqrt{3x - 1}) = 2 \log_3 (2\sqrt{3x - 1} + 1).$

a) $\log_{\frac{10}{7}}(\lg(x+1) - 1)^{-1} = \log_{0,7}(3\lg(x+1) - 1) - \log_{0,7}(\lg(x+1) + 3)$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы всех логарифмов должны быть строго положительными, а также аргумент десятичного логарифма `lg`.

1. $x + 1 > 0 \implies x > -1$.

2. $\lg(x+1) - 1 > 0 \implies \lg(x+1) > 1 \implies x+1 > 10^1 \implies x > 9$.

3. $3\lg(x+1) - 1 > 0 \implies \lg(x+1) > \frac{1}{3} \implies x+1 > 10^{\frac{1}{3}} \implies x > \sqrt[3]{10} - 1$.

4. $\lg(x+1) + 3 > 0 \implies \lg(x+1) > -3 \implies x+1 > 10^{-3} \implies x > -0,999$.

Объединяя все эти условия, получаем наиболее строгое ограничение для ОДЗ: $x > 9$.

Теперь преобразуем уравнение. Воспользуемся свойствами логарифмов.

Заметим, что основание логарифма в левой части $\frac{10}{7}$ является обратным к основанию $0,7 = \frac{7}{10}$. Используем свойство $\log_{1/b} a = -\log_b a$.

Левая часть уравнения: $\log_{\frac{10}{7}}(\lg(x+1) - 1)^{-1} = \log_{0,7^{-1}}(\lg(x+1) - 1)^{-1}$.

Применяя свойства $\log_{b^k} a = \frac{1}{k}\log_b a$ и $\log_a(M^p) = p\log_a M$, получаем:

$\frac{1}{-1} \log_{0,7}(\lg(x+1) - 1)^{-1} = (-1) \cdot (-1) \log_{0,7}(\lg(x+1) - 1) = \log_{0,7}(\lg(x+1) - 1)$.

В правой части уравнения используем свойство разности логарифмов $\log_a M - \log_a N = \log_a(\frac{M}{N})$:

$\log_{0,7}(3\lg(x+1) - 1) - \log_{0,7}(\lg(x+1) + 3) = \log_{0,7}\left(\frac{3\lg(x+1) - 1}{\lg(x+1) + 3}\right)$.

Теперь уравнение имеет вид:

$\log_{0,7}(\lg(x+1) - 1) = \log_{0,7}\left(\frac{3\lg(x+1) - 1}{\lg(x+1) + 3}\right)$

Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы:

$\lg(x+1) - 1 = \frac{3\lg(x+1) - 1}{\lg(x+1) + 3}$

Для упрощения введем замену: пусть $t = \lg(x+1)$. Из ОДЗ ($x > 9$) следует, что $t > \lg(9+1) = \lg(10) = 1$.

Уравнение для $t$:

$t - 1 = \frac{3t - 1}{t + 3}$

Так как $t > 1$, знаменатель $t+3$ не равен нулю. Умножим обе части на $(t+3)$:

$(t - 1)(t + 3) = 3t - 1$

$t^2 + 2t - 3 = 3t - 1$

$t^2 - t - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета его корни $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.

Сравним корни с условием $t > 1$. Корень $t_1 = 2$ удовлетворяет этому условию, а $t_2 = -1$ — нет.

Выполним обратную замену для $t=2$:

$\lg(x+1) = 2$

$x + 1 = 10^2$

$x + 1 = 100$

$x = 99$

Полученное значение $x=99$ удовлетворяет ОДЗ ($99 > 9$).

Ответ: $x=99$.

---

б) $\log_{\sqrt{3}}(3x - 2\sqrt{3x-1}) = 2\log_3(2\sqrt{3x-1} + 1)$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

1. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным: $3x - 1 \ge 0 \implies x \ge \frac{1}{3}$.

2. Аргумент первого логарифма должен быть положительным: $3x - 2\sqrt{3x-1} > 0$. Преобразуем это выражение: $3x - 2\sqrt{3x-1} = (3x-1) - 2\sqrt{3x-1} + 1 = (\sqrt{3x-1})^2 - 2\sqrt{3x-1} + 1^2 = (\sqrt{3x-1} - 1)^2$. Неравенство $(\sqrt{3x-1} - 1)^2 > 0$ выполняется, когда $\sqrt{3x-1} - 1 \neq 0$, то есть $\sqrt{3x-1} \neq 1$, что означает $3x-1 \neq 1$, или $x \neq \frac{2}{3}$.

3. Аргумент второго логарифма должен быть положительным: $2\sqrt{3x-1} + 1 > 0$. Так как $\sqrt{3x-1} \ge 0$, это выражение всегда $\ge 1$, поэтому условие выполняется для всех $x$ из первого пункта.

Итоговая ОДЗ: $x \ge \frac{1}{3}$ и $x \neq \frac{2}{3}$.

Преобразуем левую часть уравнения, используя формулу смены основания $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$:

$\log_{\sqrt{3}}(3x - 2\sqrt{3x-1}) = \log_{3^{1/2}}(3x - 2\sqrt{3x-1}) = \frac{1}{1/2}\log_3(3x - 2\sqrt{3x-1}) = 2\log_3(3x - 2\sqrt{3x-1})$.

Уравнение принимает вид:

$2\log_3(3x - 2\sqrt{3x-1}) = 2\log_3(2\sqrt{3x-1} + 1)$

Разделив обе части на 2, получим:

$\log_3(3x - 2\sqrt{3x-1}) = \log_3(2\sqrt{3x-1} + 1)$

Приравниваем аргументы логарифмов:

$3x - 2\sqrt{3x-1} = 2\sqrt{3x-1} + 1$

$3x - 1 = 4\sqrt{3x-1}$

Сделаем замену $y = \sqrt{3x-1}$. Условие $x \ge \frac{1}{3}$ означает, что $y \ge 0$. Также $y^2 = 3x-1$.

Уравнение для $y$:

$y^2 = 4y$

$y^2 - 4y = 0$

$y(y - 4) = 0$

Отсюда $y_1 = 0$ или $y_2 = 4$. Оба значения неотрицательны.

Производим обратную замену:

1. Если $y = 0$: $\sqrt{3x-1} = 0 \implies 3x - 1 = 0 \implies x_1 = \frac{1}{3}$.

2. Если $y = 4$: $\sqrt{3x-1} = 4 \implies 3x - 1 = 16 \implies 3x = 17 \implies x_2 = \frac{17}{3}$.

Проверим оба корня на соответствие ОДЗ ($x \ge \frac{1}{3}$ и $x \neq \frac{2}{3}$).

Корень $x_1 = \frac{1}{3}$ удовлетворяет ОДЗ: $\frac{1}{3} \ge \frac{1}{3}$ и $\frac{1}{3} \neq \frac{2}{3}$.

Корень $x_2 = \frac{17}{3}$ также удовлетворяет ОДЗ: $\frac{17}{3} \ge \frac{1}{3}$ и $\frac{17}{3} \neq \frac{2}{3}$.

Оба корня являются решениями.

Ответ: $x=\frac{1}{3}; x=\frac{17}{3}$.