Номер 27.41, страница 171, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 27. Общие методы решения уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 27.41, страница 171.

27.41. a) $\log^2_{0.5} x + 12 = 7 \log_2 x;$

б) $\log^2_{0.5} x - 6 \log_{\frac{1}{\sqrt{2}}} \sqrt{x} + 8 = 0;$

в) $9 \log^2_8 x = 11 \log_2 x + 12;$

г) $\sqrt{\log_2 x + 11} = 3 \log_8 x - 1.$

а) $log_{0,5}^2 x + 12 = 7 \log_2 x$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.
Приведем логарифмы к одному основанию 2. Используем свойство логарифма $log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$.
$log_{0,5} x = \log_{2^{-1}} x = -1 \cdot \log_2 x = -\log_2 x$.
Подставим это в исходное уравнение:

$(-\log_2 x)^2 + 12 = 7 \log_2 x$

$(\log_2 x)^2 + 12 = 7 \log_2 x$

$(\log_2 x)^2 - 7 \log_2 x + 12 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_2 x$. Тогда уравнение примет вид:

$t^2 - 7t + 12 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета:
$t_1 + t_2 = 7$
$t_1 \cdot t_2 = 12$
Отсюда $t_1 = 3$ и $t_2 = 4$.

Вернемся к исходной переменной:

1) $\log_2 x = 3 \Rightarrow x_1 = 2^3 = 8$.
2) $\log_2 x = 4 \Rightarrow x_2 = 2^4 = 16$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: 8; 16.

б) $\log_{0,5}^2 x - 6 \log_{\frac{1}{\sqrt{2}}} \sqrt{x} + 8 = 0$

ОДЗ: $x > 0$.
Приведем все логарифмы к основанию 2.
$log_{0,5} x = \log_{2^{-1}} x = -\log_2 x$.
$\log_{\frac{1}{\sqrt{2}}} \sqrt{x} = \log_{2^{-1/2}} x^{1/2}$.
Используем свойство $log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b$:
$\log_{2^{-1/2}} x^{1/2} = \frac{1/2}{-1/2} \log_2 x = -1 \cdot \log_2 x = -\log_2 x$.

Подставим преобразованные выражения в уравнение:

$(-\log_2 x)^2 - 6(-\log_2 x) + 8 = 0$

$(\log_2 x)^2 + 6 \log_2 x + 8 = 0$

Сделаем замену $t = \log_2 x$:

$t^2 + 6t + 8 = 0$

По теореме Виета:
$t_1 + t_2 = -6$
$t_1 \cdot t_2 = 8$
Следовательно, $t_1 = -2$ и $t_2 = -4$.

Выполним обратную замену:

1) $\log_2 x = -2 \Rightarrow x_1 = 2^{-2} = \frac{1}{4}$.
2) $\log_2 x = -4 \Rightarrow x_2 = 2^{-4} = \frac{1}{16}$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $\frac{1}{16}$; $\frac{1}{4}$.

в) $9 \log_8^2 x = 11 \log_2 x + 12$

ОДЗ: $x > 0$.
Приведем логарифмы к основанию 2:

$\log_8 x = \log_{2^3} x = \frac{1}{3} \log_2 x$.

Подставим в уравнение:

$9 \left(\frac{1}{3} \log_2 x\right)^2 = 11 \log_2 x + 12$

$9 \cdot \frac{1}{9} (\log_2 x)^2 = 11 \log_2 x + 12$

$(\log_2 x)^2 - 11 \log_2 x - 12 = 0$

Сделаем замену $t = \log_2 x$:

$t^2 - 11t - 12 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 121 + 48 = 169 = 13^2$.
$t_1 = \frac{11 - 13}{2} = -1$.
$t_2 = \frac{11 + 13}{2} = 12$.

Вернемся к замене:

1) $\log_2 x = -1 \Rightarrow x_1 = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.
2) $\log_2 x = 12 \Rightarrow x_2 = 2^{12} = 4096$.
Оба корня входят в ОДЗ.

Ответ: $\frac{1}{2}$; 4096.

г) $\sqrt{\log_2 x + 11} = 3 \log_8 x - 1$

Найдем ОДЗ:
1) $x > 0$ (аргумент логарифма).
2) $\log_2 x + 11 \ge 0 \Rightarrow \log_2 x \ge -11 \Rightarrow x \ge 2^{-11}$.
3) $3 \log_8 x - 1 \ge 0$ (правая часть не может быть отрицательной, так как равна корню).
Приведем к основанию 2: $3 \cdot \frac{1}{3} \log_2 x - 1 \ge 0 \Rightarrow \log_2 x - 1 \ge 0 \Rightarrow \log_2 x \ge 1 \Rightarrow x \ge 2$.
Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \ge 2$.

Теперь решаем уравнение. Приведем логарифм в правой части к основанию 2:
$\log_8 x = \frac{1}{3} \log_2 x$.
$\sqrt{\log_2 x + 11} = 3 \cdot \frac{1}{3} \log_2 x - 1$

$\sqrt{\log_2 x + 11} = \log_2 x - 1$

Сделаем замену $t = \log_2 x$. Из ОДЗ ($x \ge 2$) следует, что $\log_2 x \ge \log_2 2$, то есть $t \ge 1$.
$\sqrt{t + 11} = t - 1$

Возведем обе части в квадрат:

$t + 11 = (t - 1)^2$

$t + 11 = t^2 - 2t + 1$

$t^2 - 3t - 10 = 0$

Решим квадратное уравнение:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.
$t_1 = \frac{3 - 7}{2} = -2$.
$t_2 = \frac{3 + 7}{2} = 5$.

Проверим корни по условию для $t$: $t \ge 1$.
$t_1 = -2$ не удовлетворяет условию $t \ge 1$, это посторонний корень.
$t_2 = 5$ удовлетворяет условию $t \ge 1$.

Вернемся к переменной $x$:

$\log_2 x = 5 \Rightarrow x = 2^5 = 32$.
Корень $x = 32$ удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 2$).

Ответ: 32.