Номер 27.46, страница 172, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 27. Общие методы решения уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 27.46, страница 172.

27.46. a) $ \log^2 x - 5|\log x| = 0; $

б) $ \ln^2 x - \frac{3 \ln^2 x}{|\ln x|} = 0. $

а) Дано уравнение $\lg^2 x - 5|\lg x| = 0$.

1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля, поэтому $x > 0$.

2. Заметим, что $\lg^2 x$ это то же самое, что и $(\lg x)^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа равен квадрату его модуля, мы можем записать $(\lg x)^2 = |\lg x|^2$.

3. Подставим это свойство в исходное уравнение: $|\lg x|^2 - 5|\lg x| = 0$.

4. Введём замену переменной. Пусть $t = |\lg x|$. Так как модуль не может быть отрицательным, то $t \ge 0$. Уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $t$: $t^2 - 5t = 0$.

5. Решим это уравнение. Вынесем $t$ за скобку: $t(t-5) = 0$. Отсюда получаем два корня: $t_1 = 0$ и $t_2 = 5$. Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.

6. Выполним обратную замену:

• Если $t = 0$, то $|\lg x| = 0$. Это означает, что $\lg x = 0$. Отсюда $x = 10^0 = 1$.
• Если $t = 5$, то $|\lg x| = 5$. Это уравнение распадается на два:
  • $\lg x = 5 \implies x = 10^5 = 100000$.
  • $\lg x = -5 \implies x = 10^{-5} = 0.00001$.

7. Все три найденных значения ($1, 100000, 0.00001$) удовлетворяют ОДЗ ($x>0$).

Ответ: $1; 10^5; 10^{-5}$.

б) Дано уравнение $\ln^2 x - \frac{3 \ln^2 x}{|\ln x|} = 0$.

1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ).

• Аргумент логарифма должен быть положителен: $x > 0$.
• Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $|\ln x| \ne 0$, что означает $\ln x \ne 0$, а следовательно $x \ne 1$.

Итак, ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$.

2. Вынесем общий множитель $\ln^2 x$ за скобки: $\ln^2 x \left(1 - \frac{3}{|\ln x|}\right) = 0$.

3. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом существует.

4. Рассмотрим два случая:

• Случай 1: $\ln^2 x = 0$. Отсюда $\ln x = 0$, что дает $x = e^0 = 1$. Однако это значение не входит в ОДЗ, так как $x \ne 1$. Следовательно, это не является решением.
• Случай 2: $1 - \frac{3}{|\ln x|} = 0$. Перенесём дробь в правую часть: $1 = \frac{3}{|\ln x|}$. Отсюда следует, что $|\ln x| = 3$. Это уравнение равносильно двум уравнениям:
  • $\ln x = 3 \implies x = e^3$.
  • $\ln x = -3 \implies x = e^{-3}$.

5. Проверим, входят ли найденные корни в ОДЗ. Оба значения $e^3$ и $e^{-3}$ положительны и не равны 1, следовательно, они являются решениями.

Ответ: $e^3; e^{-3}$.