Номер 27.42, страница 171, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 27. Общие методы решения уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 27.42, страница 171.

27.42. a) $\log_{x+1} (x^2 - 3x + 1) = 1;$

б) $\log_x (2x^2 - 3x - 4) = 2.$

а) $\log_{x+1}(x^2 - 3x + 1) = 1$

По определению логарифма, данное уравнение равносильно системе, учитывающей область допустимых значений (ОДЗ): основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице, а подлогарифмическое выражение должно быть равно основанию в степени, стоящей в правой части уравнения.

$ \begin{cases} x^2 - 3x + 1 = (x + 1)^1 \\ x + 1 > 0 \\ x + 1 \neq 1 \end{cases} $

Решим первое уравнение системы:

$x^2 - 3x + 1 = x + 1$

$x^2 - 3x - x + 1 - 1 = 0$

$x^2 - 4x = 0$

$x(x - 4) = 0$

Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.

Теперь проверим эти корни на соответствие двум другим условиям системы:

1. $x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1$

2. $x + 1 \neq 1 \Rightarrow x \neq 0$

Проверим корень $x_1 = 0$:

Он не удовлетворяет условию $x \neq 0$, значит, $x=0$ является посторонним корнем.

Проверим корень $x_2 = 4$:

$4 > -1$ (верно)

$4 \neq 0$ (верно)

Таким образом, $x=4$ является единственным решением уравнения.

Ответ: $4$.

б) $\log_{x}(2x^2 - 3x - 4) = 2$

По определению логарифма, данное уравнение равносильно системе, учитывающей ОДЗ:

$ \begin{cases} 2x^2 - 3x - 4 = x^2 \\ x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases} $

Решим первое уравнение системы:

$2x^2 - 3x - 4 = x^2$

$x^2 - 3x - 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 5}{2} = -1$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = 4$

Теперь проверим найденные корни на соответствие условиям $x > 0$ и $x \neq 1$.

Проверим корень $x_1 = -1$:

Он не удовлетворяет условию $x > 0$, так как $-1 < 0$. Следовательно, это посторонний корень.

Проверим корень $x_2 = 4$:

$4 > 0$ (верно)

$4 \neq 1$ (верно)

Следовательно, $x=4$ является решением уравнения.

Ответ: $4$.