Номер 27.35, страница 171, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 27. Общие методы решения уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 27.35, страница 171.

27.35. a) $3\tan^2 x - 8 = 4 \cos^2 x$;

б) $4\sin^2 x = 4 - 9 \tan^2 x$.

а) $3\text{tg}^2 x - 8 = 4\cos^2 x$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием существования тангенса, то есть $\cos x \neq 0$. Отсюда следует, что $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Для решения приведем все функции к одной. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством в виде $1 + \text{tg}^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$. Из этого тождества выразим $\cos^2 x = \frac{1}{1 + \text{tg}^2 x}$.

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$3\text{tg}^2 x - 8 = 4 \cdot \frac{1}{1 + \text{tg}^2 x}$

Произведем замену переменной. Пусть $y = \text{tg}^2 x$. Поскольку квадрат действительного числа всегда неотрицателен, то $y \ge 0$.

Уравнение примет вид:

$3y - 8 = \frac{4}{1+y}$

Поскольку $1+y = 1+\text{tg}^2 x$ всегда больше нуля для любого $x$ из ОДЗ, мы можем умножить обе части уравнения на $(1+y)$, не опасаясь появления посторонних корней или потери решений.

$(3y - 8)(1 + y) = 4$

$3y + 3y^2 - 8 - 8y = 4$

$3y^2 - 5y - 12 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-12) = 25 + 144 = 169 = 13^2$

Найдем корни:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 13}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 13}{2 \cdot 3} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$

Сравним полученные корни с условием $y \ge 0$.

Корень $y_1 = 3$ удовлетворяет условию $y \ge 0$.

Корень $y_2 = -\frac{4}{3}$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$ и является посторонним.

Выполним обратную замену для $y_1 = 3$:

$\text{tg}^2 x = 3$

Это уравнение распадается на два:

$\text{tg} x = \sqrt{3}$ или $\text{tg} x = -\sqrt{3}$

Решения для каждого случая:

1) $\text{tg} x = \sqrt{3} \implies x = \text{arctg}(\sqrt{3}) + \pi n = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2) $\text{tg} x = -\sqrt{3} \implies x = \text{arctg}(-\sqrt{3}) + \pi n = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Эти две серии решений можно объединить в одну:

$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Полученные значения $x$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $4\sin^2 x = 4 - 9\text{tg}^2 x$

Область допустимых значений (ОДЗ) такая же, как и в предыдущем уравнении: $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Для приведения уравнения к одной функции используем тождество, связывающее $\sin^2 x$ и $\text{tg}^2 x$: $\sin^2 x = \frac{\text{tg}^2 x}{1 + \text{tg}^2 x}$.

Подставим это в исходное уравнение:

$4 \cdot \frac{\text{tg}^2 x}{1 + \text{tg}^2 x} = 4 - 9\text{tg}^2 x$

Сделаем замену переменной: $y = \text{tg}^2 x$. Условие для новой переменной: $y \ge 0$.

Уравнение после замены:

$\frac{4y}{1+y} = 4 - 9y$

Умножим обе части на $(1+y)$, так как $1+y > 0$ для всех $x$ из ОДЗ.

$4y = (4 - 9y)(1 + y)$

$4y = 4 + 4y - 9y - 9y^2$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все в левую часть:

$9y^2 + 9y - 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-4) = 81 + 144 = 225 = 15^2$

Корни уравнения:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + 15}{2 \cdot 9} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - 15}{2 \cdot 9} = \frac{-24}{18} = -\frac{4}{3}$

Проверим корни на соответствие условию $y \ge 0$.

Корень $y_1 = \frac{1}{3}$ удовлетворяет условию.

Корень $y_2 = -\frac{4}{3}$ не удовлетворяет условию и является посторонним.

Вернемся к переменной $x$:

$\text{tg}^2 x = \frac{1}{3}$

Следовательно, $\text{tg} x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Решаем два уравнения:

1) $\text{tg} x = \frac{\sqrt{3}}{3} \implies x = \text{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) + \pi n = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2) $\text{tg} x = -\frac{\sqrt{3}}{3} \implies x = \text{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) + \pi n = -\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Объединим эти две серии решений:

$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Данные решения входят в ОДЗ.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.