Номер 27.31, страница 170, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 27. Общие методы решения уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 27.31, страница 170.

27.31. a) $\frac{3}{1 + x + x^2} = 3 - x - x^2$

б) $\frac{x^2 - x}{x^2 - x + 1} - \frac{x^2 - x + 2}{x^2 - x - 2} = 1$

а) Исходное уравнение: $\frac{3}{1 + x + x^2} = 3 - x - x^2$.

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель $x^2 + x + 1$ не должен быть равен нулю. Найдем дискриминант этого квадратного трехчлена: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3$. Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$) и старший коэффициент (при $x^2$) положителен, выражение $x^2 + x + 1$ всегда больше нуля при любых действительных $x$. Следовательно, ОДЗ: $x$ — любое действительное число.

Для упрощения решения введем замену. Пусть $t = x^2 + x$. Уравнение примет вид: $\frac{3}{1 + t} = 3 - t$.

Умножим обе части уравнения на $(1+t)$, что допустимо, так как $1+t = 1+x^2+x \neq 0$:
$3 = (3 - t)(1 + t)$
Раскроем скобки и упростим:
$3 = 3 + 3t - t - t^2$
$t^2 - 2t = 0$

Решим полученное уравнение для $t$, вынеся общий множитель за скобки:
$t(t - 2) = 0$
Отсюда получаем два возможных значения для $t$: $t_1 = 0$ или $t_2 = 2$.

Теперь выполним обратную замену.
1. При $t = 0$ имеем $x^2 + x = 0 \Rightarrow x(x + 1) = 0$. Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = -1$.
2. При $t = 2$ имеем $x^2 + x = 2 \Rightarrow x^2 + x - 2 = 0$. Корнями этого уравнения (по теореме Виета или через дискриминант) являются $x_3 = 1$ и $x_4 = -2$.

Все найденные корни входят в область допустимых значений.

Ответ: $-2; -1; 0; 1$.

б) Исходное уравнение: $\frac{x^2 - x}{x^2 - x + 1} - \frac{x^2 - x + 2}{x^2 - x - 2} = 1$.

Заметим повторяющееся выражение $x^2 - x$ и введем замену для упрощения. Пусть $y = x^2 - x$. Уравнение преобразуется к виду:
$\frac{y}{y + 1} - \frac{y + 2}{y - 2} = 1$.
Область допустимых значений для переменной $y$ определяется условиями $y + 1 \neq 0$ и $y - 2 \neq 0$, то есть $y \neq -1$ и $y \neq 2$.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(y + 1)(y - 2)$ и решим уравнение:
$\frac{y(y - 2) - (y + 2)(y + 1)}{(y + 1)(y - 2)} = 1$
Умножим обе части на знаменатель, учитывая ОДЗ для $y$:
$y(y - 2) - (y + 2)(y + 1) = (y + 1)(y - 2)$
$y^2 - 2y - (y^2 + 3y + 2) = y^2 - y - 2$
$-5y - 2 = y^2 - y - 2$
$y^2 + 4y = 0$
$y(y + 4) = 0$

Отсюда получаем два решения для $y$: $y_1 = 0$ или $y_2 = -4$. Оба значения удовлетворяют ОДЗ для $y$ ($y \neq -1$ и $y \neq 2$).

Выполним обратную замену $y = x^2 - x$:
1. Если $y = 0$, то $x^2 - x = 0 \Rightarrow x(x - 1) = 0$. Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$.
2. Если $y = -4$, то $x^2 - x = -4 \Rightarrow x^2 - x + 4 = 0$. Дискриминант этого уравнения $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = -15 < 0$, поэтому действительных корней нет.

Проверим найденные корни $x=0$ и $x=1$ на соответствие ОДЗ исходного уравнения. Знаменатели $x^2 - x + 1$ и $x^2 - x - 2$ не должны быть равны нулю. Первый знаменатель $x^2 - x + 1$ никогда не равен нулю (его дискриминант равен -3). Второй знаменатель $x^2 - x - 2$ равен нулю при $x=2$ и $x=-1$. Найденные корни $0$ и $1$ не совпадают с этими значениями, следовательно, они являются решениями уравнения.

Ответ: $0; 1$.