Номер 27.37, страница 171, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 27. Общие методы решения уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 27.37, страница 171.

27.37. a) $\sin x \cos x - 6 \sin x + 6 \cos x + 6 = 0$;

б) $5 \sin 2x - 11 \sin x = 11 \cos x - 7$.

а) Исходное уравнение: $\sin x \cos x - 6 \sin x + 6 \cos x + 6 = 0$.
Сгруппируем слагаемые: $\sin x \cos x + 6(\cos x - \sin x) + 6 = 0$.
Данное уравнение удобно решать с помощью введения новой переменной. Пусть $t = \cos x - \sin x$.
Возведем обе части этого равенства в квадрат: $t^2 = (\cos x - \sin x)^2 = \cos^2 x - 2 \sin x \cos x + \sin^2 x$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем: $t^2 = 1 - 2 \sin x \cos x$.
Отсюда выразим произведение $\sin x \cos x$: $2 \sin x \cos x = 1 - t^2$, следовательно, $\sin x \cos x = \frac{1 - t^2}{2}$.
Подставим выражения для $(\cos x - \sin x)$ и $\sin x \cos x$ в исходное уравнение:
$\frac{1 - t^2}{2} + 6t + 6 = 0$.
Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:
$1 - t^2 + 12t + 12 = 0$.
$-t^2 + 12t + 13 = 0$.
$t^2 - 12t - 13 = 0$.
Это квадратное уравнение относительно $t$. Решим его по теореме Виета. Сумма корней равна 12, а их произведение равно -13. Корни уравнения: $t_1 = 13$ и $t_2 = -1$.
Теперь выполним обратную замену для каждого корня.
1) Случай $t = 13$:
$\cos x - \sin x = 13$.
Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции $y = \cos x - \sin x$ есть отрезок $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$. Поскольку $13 \notin [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$, решений нет.
2) Случай $t = -1$:
$\cos x - \sin x = -1$, что эквивалентно $\sin x - \cos x = 1$.
Преобразуем левую часть с помощью метода вспомогательного угла:
$\sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.
$\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) = 1$.
$\sqrt{2}(\sin x \cos\frac{\pi}{4} - \cos x \sin\frac{\pi}{4}) = 1$.
$\sqrt{2}\sin(x - \frac{\pi}{4}) = 1$.
$\sin(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение имеет две серии решений:
а) $x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
б) $x - \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$.
$x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Исходное уравнение: $5 \sin 2x - 11 \sin x = 11 \cos x - 7$.
Перенесем все слагаемые в левую часть и сгруппируем их:
$5 \sin 2x - 11 \sin x - 11 \cos x + 7 = 0$.
$5 \sin 2x - 11(\sin x + \cos x) + 7 = 0$.
Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:
$5(2 \sin x \cos x) - 11(\sin x + \cos x) + 7 = 0$.
$10 \sin x \cos x - 11(\sin x + \cos x) + 7 = 0$.
Введем новую переменную $t = \sin x + \cos x$.
Возведем обе части в квадрат: $t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + 2 \sin x \cos x$.
Отсюда $2 \sin x \cos x = t^2 - 1$, а значит $10 \sin x \cos x = 5(2 \sin x \cos x) = 5(t^2 - 1)$.
Подставим полученные выражения в уравнение:
$5(t^2 - 1) - 11t + 7 = 0$.
$5t^2 - 5 - 11t + 7 = 0$.
$5t^2 - 11t + 2 = 0$.
Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 121 - 40 = 81 = 9^2$.
Корни уравнения:
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 - 9}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + 9}{2 \cdot 5} = \frac{20}{10} = 2$.
Выполним обратную замену.
1) Случай $t = 2$:
$\sin x + \cos x = 2$.
Уравнение не имеет решений, так как область значений функции $y = \sin x + \cos x$ есть отрезок $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$, а число 2 не принадлежит этому отрезку.
2) Случай $t = \frac{1}{5}$:
$\sin x + \cos x = \frac{1}{5}$.
Преобразуем левую часть методом вспомогательного угла:
$\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) = \frac{1}{5}$.
$\sqrt{2}(\sin x \cos\frac{\pi}{4} + \cos x \sin\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{5}$.
$\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{5}$.
$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{5\sqrt{2}}$.
Общее решение этого уравнения:
$x + \frac{\pi}{4} = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{5\sqrt{2}}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = -\frac{\pi}{4} + (-1)^k \arcsin(\frac{1}{5\sqrt{2}}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{4} + (-1)^k \arcsin(\frac{1}{5\sqrt{2}}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.