Номер 27.43, страница 171, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 27. Общие методы решения уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 27.43, страница 171.

27.43. a) $ \ln (0,2^x - 7) = \ln (9 - 3 \cdot 0,2^x); $

б) $ 9^{\log_3 x} - 12 \cdot 3^{\log_3 x} + 3^{\log_3 27} = 0; $

В) $ e^{\lg (x-2)} \cdot \frac{1}{e} = (e^{-1})^{\lg (x+1)}; $

Г) $ \log_5 (2 + 3 \cdot 5^{-x}) = x + 1. $

а)

Дано логарифмическое уравнение: $ \ln(0,2 \cdot 2^x - 7) = \ln(9 - 3 \cdot 0,2 \cdot 2^x) $.

Поскольку основания натуральных логарифмов равны, можно приравнять их аргументы. Но сначала определим область допустимых значений (ОДЗ), потребовав, чтобы оба аргумента были строго положительными:

$ \begin{cases} 0,2 \cdot 2^x - 7 > 0 \\ 9 - 3 \cdot 0,2 \cdot 2^x > 0 \end{cases} $

Рассмотрим первое неравенство:

$ 0,2 \cdot 2^x > 7 \implies \frac{1}{5} \cdot 2^x > 7 \implies 2^x > 35 $.

Рассмотрим второе неравенство:

$ 9 > 3 \cdot 0,2 \cdot 2^x \implies 3 > 0,2 \cdot 2^x \implies 3 > \frac{1}{5} \cdot 2^x \implies 15 > 2^x $.

Таким образом, ОДЗ определяется системой неравенств:

$ \begin{cases} 2^x > 35 \\ 2^x < 15 \end{cases} $

Данная система не имеет решений, так как не существует такого значения $2^x$, которое было бы одновременно больше 35 и меньше 15. Следовательно, область допустимых значений пуста, и уравнение не имеет решений.

Ответ: нет корней.

б)

Дано уравнение: $ 9^{\log_3 x} - 12 \cdot 3^{\log_3 x} + 3^{\log_3 27} = 0 $.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется из условия, что аргумент логарифма должен быть положительным: $ x > 0 $.

Упростим члены уравнения, используя основное логарифмическое тождество $ a^{\log_a b} = b $ и свойства степеней:

1. $ 9^{\log_3 x} = (3^2)^{\log_3 x} = (3^{\log_3 x})^2 = x^2 $.

2. $ 12 \cdot 3^{\log_3 x} = 12 \cdot x = 12x $.

3. $ 3^{\log_3 27} = 27 $.

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$ x^2 - 12x + 27 = 0 $.

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 12, а их произведение равно 27. Легко подобрать корни:

$ x_1 = 3 $ и $ x_2 = 9 $.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($ x > 0 $), так как $ 3 > 0 $ и $ 9 > 0 $.

Ответ: $ 3; 9 $.

в)

Дано уравнение: $ e^{\lg(x-2)} \cdot \frac{1}{e} = (e^{-1})^{\lg(x+1)} $.

Найдем ОДЗ. Аргументы десятичных логарифмов ($ \lg $) должны быть положительны:

$ \begin{cases} x - 2 > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2 \\ x > -1 \end{cases} $.

Пересечением этих условий является $ x > 2 $.

Преобразуем уравнение, используя свойства степеней $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $ и $ (a^m)^n = a^{mn} $:

$ e^{\lg(x-2)} \cdot e^{-1} = e^{-1 \cdot \lg(x+1)} $

$ e^{\lg(x-2) - 1} = e^{-\lg(x+1)} $

Так как основания степеней равны, приравняем показатели:

$ \lg(x-2) - 1 = -\lg(x+1) $

$ \lg(x-2) + \lg(x+1) = 1 $

Используя свойство суммы логарифмов $ \log_a b + \log_a c = \log_a (bc) $:

$ \lg((x-2)(x+1)) = 1 $

По определению десятичного логарифма ($ \lg A = 1 \iff A = 10^1 $):

$ (x-2)(x+1) = 10 $

$ x^2 - x - 2 = 10 $

$ x^2 - x - 12 = 0 $

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, $ x_1 + x_2 = 1 $ и $ x_1 \cdot x_2 = -12 $. Корни:

$ x_1 = 4 $, $ x_2 = -3 $.

Проверим соответствие корней ОДЗ ($ x > 2 $).

$ x_1 = 4 $ подходит, так как $ 4 > 2 $.

$ x_2 = -3 $ не подходит, так как $ -3 \ngtr 2 $.

Следовательно, у уравнения один корень.

Ответ: $ 4 $.

г)

Дано уравнение: $ \log_5(2 + 3 \cdot 5^{-x}) = x + 1 $.

ОДЗ: аргумент логарифма должен быть положителен $ 2 + 3 \cdot 5^{-x} > 0 $. Это неравенство выполняется для любого действительного $x$, так как показательная функция $ 5^{-x} $ всегда положительна. Значит, ОДЗ: $ x \in \mathbb{R} $.

По определению логарифма ($ \log_a b = c \iff b = a^c $), преобразуем уравнение:

$ 2 + 3 \cdot 5^{-x} = 5^{x+1} $

$ 2 + 3 \cdot \frac{1}{5^x} = 5^1 \cdot 5^x $

Введем замену $ t = 5^x $. Так как $ 5^x > 0 $ для любого $x$, то $ t > 0 $.

$ 2 + \frac{3}{t} = 5t $

Умножим обе части на $ t $ (так как $ t \neq 0 $):

$ 2t + 3 = 5t^2 $

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$ 5t^2 - 2t - 3 = 0 $

Найдем дискриминант: $ D = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 4 + 60 = 64 = 8^2 $.

Найдем корни для $ t $:

$ t_1 = \frac{2 + 8}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1 $

$ t_2 = \frac{2 - 8}{2 \cdot 5} = \frac{-6}{10} = -0,6 $

Возвращаемся к замене. Корень $ t_2 = -0,6 $ является посторонним, так как $ t = 5^x $ должно быть положительным.

Рассмотрим $ t_1 = 1 $:

$ 5^x = 1 $

$ 5^x = 5^0 $

$ x = 0 $

Этот корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ 0 $.