Номер 27.49, страница 172, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 27. Общие методы решения уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 27.49, страница 172.

27.49. a) $ \log_2 \sin x = \log_2 (-\cos x); $

б) $ \log_3 \cos x = \log_3 (-\sin x). $

а) $\log_2 \sin x = \log_2 (-\cos x)$

Уравнение с логарифмами равносильно системе, состоящей из уравнения, получаемого приравниванием аргументов логарифмов, и неравенств, задающих область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным.

$\begin{cases}\sin x = -\cos x, \\\sin x > 0, \\-\cos x > 0.\end{cases}$

Рассмотрим систему неравенств для нахождения ОДЗ:

$\begin{cases}\sin x > 0 \\\cos x < 0\end{cases}$

Синус положителен в I и II координатных четвертях. Косинус отрицателен во II и III координатных четвертях. Одновременное выполнение этих условий возможно только для углов $x$, находящихся во II координатной четверти. То есть, $\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь решим уравнение $\sin x = -\cos x$. Поскольку из ОДЗ следует, что $\cos x \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $\cos x$:

$\frac{\sin x}{\cos x} = -1$

$\tan x = -1$

Общее решение этого тригонометрического уравнения:$x = \arctan(-1) + \pi k = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь из найденных решений отберем те, которые удовлетворяют ОДЗ, то есть принадлежат II координатной четверти.Подставим разные целые значения $k$:

• При $k=0$, $x = -\frac{\pi}{4}$ (IV четверть). Не подходит.
• При $k=1$, $x = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4}$ (II четверть). Подходит.
• При $k=2$, $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4}$ (IV четверть). Не подходит.

Таким образом, решениями являются только те углы, которые соответствуют значению $\frac{3\pi}{4}$ с периодом $2\pi$.

Ответ: $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\log_3 \cos x = \log_3 (-\sin x)$

Данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases}\cos x = -\sin x, \\\cos x > 0, \\-\sin x > 0.\end{cases}$

Рассмотрим систему неравенств для нахождения ОДЗ:

$\begin{cases}\cos x > 0 \\\sin x < 0\end{cases}$

Косинус положителен в I и IV координатных четвертях. Синус отрицателен в III и IV координатных четвертях. Одновременное выполнение этих условий возможно только для углов $x$, находящихся в IV координатной четверти. То есть, $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь решим уравнение $\cos x = -\sin x$. Разделим обе части на $\cos x$ (из ОДЗ мы знаем, что $\cos x \neq 0$):

$1 = -\frac{\sin x}{\cos x}$

$\tan x = -1$

Общее решение этого уравнения:$x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Отберем решения, удовлетворяющие ОДЗ (принадлежащие IV координатной четверти).Подставим разные целые значения $k$:

• При $k=0$, $x = -\frac{\pi}{4}$ (IV четверть). Подходит.
• При $k=1$, $x = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4}$ (II четверть). Не подходит.
• При $k=2$, $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4}$ (IV четверть, совпадает с $-\frac{\pi}{4}$). Подходит.

Таким образом, решениями являются только те углы, которые соответствуют значению $-\frac{\pi}{4}$ с периодом $2\pi$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.