Номер 27.50, страница 172, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 27. Общие методы решения уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 27.50, страница 172.

27.50. a) $ \sqrt{x} \sin x \log_2 x = 0; $

б) $ \sqrt{3x + 1} \cos 2x \lg x = 0. $

а) $\sqrt{x} \sin x \log_2 x = 0$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения. Уравнение содержит три множителя, и для каждого из них должны выполняться свои условия:

• Для $\sqrt{x}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
• Для $\log_2 x$ выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным: $x > 0$.

Пересекая эти два условия ($x \ge 0$ и $x > 0$), получаем ОДЗ: $x > 0$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные при этом определены (то есть значение $x$ входит в ОДЗ).

Рассмотрим три случая:

1. $\sqrt{x} = 0$.
Возведя обе части в квадрат, получаем $x = 0$. Это значение не входит в ОДЗ ($x > 0$), поэтому не является решением исходного уравнения.

2. $\sin x = 0$.
Общее решение этого тригонометрического уравнения: $x = \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Теперь нужно отобрать те корни, которые удовлетворяют условию ОДЗ $x > 0$.
$\pi k > 0 \implies k > 0$.
Поскольку $k$ — целое число, то $k$ может быть любым натуральным числом ($k = 1, 2, 3, \ldots$). Таким образом, решения из этой серии: $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{N}$.

3. $\log_2 x = 0$.
По определению логарифма, $x = 2^0$, что дает $x = 1$.
Это значение удовлетворяет ОДЗ ($1 > 0$), следовательно, $x=1$ является решением.

Объединяя все найденные решения, удовлетворяющие ОДЗ, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = 1; x = \pi k, k \in \mathbb{N}$.

---

б) $\sqrt{3x+1} \cos 2x \lg x = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения:

• Для $\sqrt{3x+1}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $3x+1 \ge 0 \implies 3x \ge -1 \implies x \ge -\frac{1}{3}$.
• Для десятичного логарифма $\lg x$ (то есть $\log_{10} x$) его аргумент должен быть строго положительным: $x > 0$.

Пересечение этих условий ($x \ge -\frac{1}{3}$ и $x > 0$) дает итоговую ОДЗ: $x > 0$.

Приравняем каждый множитель к нулю, чтобы найти возможные корни уравнения.

1. $\sqrt{3x+1} = 0$.
$3x+1 = 0 \implies 3x = -1 \implies x = -\frac{1}{3}$.
Этот корень не входит в ОДЗ ($x > 0$), поэтому он не является решением.

2. $\cos 2x = 0$.
Общее решение этого уравнения: $2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Выразим $x$: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$.
Теперь отберем корни, удовлетворяющие ОДЗ ($x > 0$):
$\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} > 0$.
$\frac{\pi}{4}(1 + 2n) > 0$.
Поскольку $\frac{\pi}{4} > 0$, неравенство сводится к $1 + 2n > 0 \implies 2n > -1 \implies n > -0.5$.
Так как $n$ — целое число, это условие выполняется для всех целых неотрицательных чисел $n$ ($n = 0, 1, 2, \ldots$).

3. $\lg x = 0$.
По определению логарифма, $x = 10^0$, что дает $x = 1$.
Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($1 > 0$), значит, это решение.

Соберем все найденные решения, входящие в ОДЗ.

Ответ: $x = 1; x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}, n \ge 0$.