Номер 27.55, страница 173, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 27. Общие методы решения уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 27.55, страница 173.

27.55. a) $\sqrt{x^2 - 2x + 2} + \log_3 \sqrt{x^2 - 2x + 10} = 2;$

б) $(x - 7)^6 + \log_5 \sqrt{x^2 - 14x + 74} = 1.$

а) Решим уравнение $\sqrt{x^2 - 2x + 2} + \log_3 \sqrt{x^2 - 2x + 10} = 2$.
Преобразуем выражения под знаком корня, выделив полный квадрат: $x^2 - 2x + 2 = (x^2 - 2x + 1) + 1 = (x - 1)^2 + 1$.
$x^2 - 2x + 10 = (x^2 - 2x + 1) + 9 = (x - 1)^2 + 9$.
Так как $(x-1)^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то выражения $(x-1)^2+1 \ge 1$ и $(x-1)^2+9 \ge 9$. Это означает, что подкоренные выражения и выражение под знаком логарифма всегда положительны, поэтому область допустимых значений (ОДЗ) — все действительные числа.
Введем замену переменной. Пусть $t = (x - 1)^2$. По определению, $t \ge 0$.
Уравнение примет вид: $\sqrt{t + 1} + \log_3 \sqrt{t + 9} = 2$.
Используя свойство логарифма $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a(b)$, упростим второй член: $\log_3 \sqrt{t + 9} = \log_3 (t + 9)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \log_3(t + 9)$.
Теперь уравнение выглядит так: $\sqrt{t + 1} + \frac{1}{2} \log_3(t + 9) = 2$.
Рассмотрим левую часть уравнения как функцию от $t$: $f(t) = \sqrt{t + 1} + \frac{1}{2} \log_3(t + 9)$ на области определения $t \ge 0$.
Функция $y_1(t) = \sqrt{t + 1}$ является монотонно возрастающей при $t \ge 0$.
Функция $y_2(t) = \frac{1}{2} \log_3(t + 9)$ также является монотонно возрастающей, так как основание логарифма $3 > 1$.
Сумма двух монотонно возрастающих функций — это монотонно возрастающая функция. Следовательно, $f(t)$ является строго возрастающей.
Это означает, что уравнение $f(t) = 2$ может иметь не более одного решения.
Найдем это решение методом подбора. Проверим значение $t=0$:
$f(0) = \sqrt{0 + 1} + \frac{1}{2} \log_3(0 + 9) = 1 + \frac{1}{2} \log_3(9) = 1 + \frac{1}{2} \cdot 2 = 1 + 1 = 2$.
Таким образом, $t = 0$ — единственный корень уравнения.
Вернемся к исходной переменной $x$:
$(x - 1)^2 = 0 \implies x - 1 = 0 \implies x = 1$.
Ответ: $1$.

б) Решим уравнение $(x - 7)^6 + \log_5 \sqrt{x^2 - 14x + 74} = 1$.
Преобразуем выражение под корнем и знаком логарифма, выделив полный квадрат: $x^2 - 14x + 74 = (x^2 - 14x + 49) + 25 = (x - 7)^2 + 25$.
Так как $(x - 7)^2 \ge 0$, то $(x - 7)^2 + 25 \ge 25$. Выражение под логарифмом всегда положительно, ОДЗ — все действительные числа.
Введем замену переменной. Пусть $t = (x - 7)^2$. По определению, $t \ge 0$.
Тогда первое слагаемое $(x - 7)^6 = ((x - 7)^2)^3 = t^3$.
Уравнение примет вид: $t^3 + \log_5 \sqrt{t + 25} = 1$.
Упростим логарифм: $\log_5 \sqrt{t + 25} = \log_5 (t + 25)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \log_5(t + 25)$.
Получим уравнение: $t^3 + \frac{1}{2} \log_5(t + 25) = 1$.
Рассмотрим функцию в левой части: $g(t) = t^3 + \frac{1}{2} \log_5(t + 25)$ при $t \ge 0$.
Функция $y_1(t) = t^3$ является монотонно возрастающей при $t \ge 0$.
Функция $y_2(t) = \frac{1}{2} \log_5(t + 25)$ также является монотонно возрастающей, так как основание логарифма $5 > 1$.
Сумма двух монотонно возрастающих функций — это монотонно возрастающая функция. Следовательно, $g(t)$ является строго возрастающей.
Это означает, что уравнение $g(t) = 1$ имеет не более одного решения.
Найдем это решение методом подбора. Проверим $t = 0$:
$g(0) = 0^3 + \frac{1}{2} \log_5(0 + 25) = 0 + \frac{1}{2} \log_5(25) = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$.
Значит, $t = 0$ — единственный корень уравнения.
Вернемся к исходной переменной $x$:
$(x - 7)^2 = 0 \implies x - 7 = 0 \implies x = 7$.
Ответ: $7$.