Номер 27.38, страница 171, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 27. Общие методы решения уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 27.38, страница 171.

27.38. a) $8^{\sqrt{x}} - 3 \cdot 4^{\sqrt{x}} - 3 \cdot 2^{\sqrt{x}+1} + 8 = 0;$

б) $4^{\log_5 x} - 6 \cdot 2^{\log_5 x} + 2^{\log_5 125} = 0.$

а) $8^{\sqrt{x}} - 3 \cdot 4^{\sqrt{x}} - 3 \cdot 2^{\sqrt{x}+1} + 8 = 0$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

Преобразуем уравнение, приведя все степени к основанию 2.
$8^{\sqrt{x}} = (2^3)^{\sqrt{x}} = 2^{3\sqrt{x}} = (2^{\sqrt{x}})^3$
$4^{\sqrt{x}} = (2^2)^{\sqrt{x}} = 2^{2\sqrt{x}} = (2^{\sqrt{x}})^2$
$2^{\sqrt{x}+1} = 2^{\sqrt{x}} \cdot 2^1 = 2 \cdot 2^{\sqrt{x}}$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$(2^{\sqrt{x}})^3 - 3 \cdot (2^{\sqrt{x}})^2 - 3 \cdot (2 \cdot 2^{\sqrt{x}}) + 8 = 0$
$(2^{\sqrt{x}})^3 - 3 \cdot (2^{\sqrt{x}})^2 - 6 \cdot 2^{\sqrt{x}} + 8 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^{\sqrt{x}}$. Так как $\sqrt{x} \ge 0$, то $2^{\sqrt{x}} \ge 2^0$, следовательно, $t \ge 1$.
Получаем кубическое уравнение относительно $t$:
$t^3 - 3t^2 - 6t + 8 = 0$

Найдем корни этого уравнения. Возможные целые корни являются делителями свободного члена 8: $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$.
Проверим $t=1$: $1^3 - 3(1)^2 - 6(1) + 8 = 1 - 3 - 6 + 8 = 0$. Значит, $t_1 = 1$ является корнем.
Проверим $t=-2$: $(-2)^3 - 3(-2)^2 - 6(-2) + 8 = -8 - 12 + 12 + 8 = 0$. Значит, $t_2 = -2$ является корнем.
Проверим $t=4$: $4^3 - 3(4)^2 - 6(4) + 8 = 64 - 48 - 24 + 8 = 0$. Значит, $t_3 = 4$ является корнем.

Мы нашли три корня: $t_1 = 1$, $t_2 = -2$, $t_3 = 4$.
Теперь вернемся к замене, учитывая условие $t \ge 1$.
Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет условию $t \ge 1$, поэтому он является посторонним.
Рассмотрим оставшиеся корни:

1) $t = 1$
$2^{\sqrt{x}} = 1$
$2^{\sqrt{x}} = 2^0$
$\sqrt{x} = 0$
$x = 0$

2) $t = 4$
$2^{\sqrt{x}} = 4$
$2^{\sqrt{x}} = 2^2$
$\sqrt{x} = 2$
$x = 4$

Оба найденных значения $x=0$ и $x=4$ удовлетворяют ОДЗ ($x \ge 0$).

Ответ: $0; 4$

б) $4^{\log_5 x} - 6 \cdot 2^{\log_5 x} + 2^{\log_5 125} = 0$

ОДЗ: аргумент логарифма должен быть строго положительным, т.е. $x > 0$.

Упростим уравнение.
$4^{\log_5 x} = (2^2)^{\log_5 x} = (2^{\log_5 x})^2$
$\log_5 125 = \log_5 5^3 = 3$, поэтому $2^{\log_5 125} = 2^3 = 8$.

Подставим преобразованные выражения в уравнение:
$(2^{\log_5 x})^2 - 6 \cdot 2^{\log_5 x} + 8 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = 2^{\log_5 x}$. Так как показательная функция принимает только положительные значения, то $y > 0$.
Получаем квадратное уравнение относительно $y$:
$y^2 - 6y + 8 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а произведение равно 8.
Корни: $y_1 = 2$ и $y_2 = 4$.
Оба корня удовлетворяют условию $y > 0$.

Выполним обратную замену:
1) $y = 2$
$2^{\log_5 x} = 2$
$2^{\log_5 x} = 2^1$
$\log_5 x = 1$
$x = 5^1 = 5$

2) $y = 4$
$2^{\log_5 x} = 4$
$2^{\log_5 x} = 2^2$
$\log_5 x = 2$
$x = 5^2 = 25$

Оба значения $x=5$ и $x=25$ удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $5; 25$