Номер 27.36, страница 171, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 27. Общие методы решения уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 27.36, страница 171.

27.36. a) $\sin^3 x - \sin^2 x \cos x + 3 \cos^3 x = 3 \sin x \cos^2 x;$

б) $\sin^3 x + 5 \sin^2 x \cos x = 6 \cos^3 x.$

а) $\sin^3 x - \sin^2 x \cos x + 3 \cos^3 x = 3 \sin x \cos^2 x$

Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением третьей степени. Сначала перенесем все слагаемые в левую часть:

$\sin^3 x - \sin^2 x \cos x - 3 \sin x \cos^2 x + 3 \cos^3 x = 0$

Проверим, являются ли решениями уравнения значения $x$, при которых $\cos x = 0$. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$. Подставив $\cos x = 0$ в уравнение, получим:

$\sin^3 x - \sin^2 x \cdot 0 - 3 \sin x \cdot 0 + 3 \cdot 0 = 0$

$\sin^3 x = 0$, откуда $\sin x = 0$.

Системы уравнений $\cos x = 0$ и $\sin x = 0$ не имеет решений, так как основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ не выполняется. Следовательно, $\cos x \neq 0$.

Разделим обе части уравнения на $\cos^3 x$, так как мы установили, что он не равен нулю:

$\frac{\sin^3 x}{\cos^3 x} - \frac{\sin^2 x \cos x}{\cos^3 x} - \frac{3 \sin x \cos^2 x}{\cos^3 x} + \frac{3 \cos^3 x}{\cos^3 x} = 0$

Упростим, используя то, что $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$:

$\tan^3 x - \tan^2 x - 3 \tan x + 3 = 0$

Введем замену переменной $t = \tan x$. Получим кубическое уравнение:

$t^3 - t^2 - 3t + 3 = 0$

Сгруппируем слагаемые для разложения на множители:

$(t^3 - t^2) - (3t - 3) = 0$

$t^2(t - 1) - 3(t - 1) = 0$

$(t - 1)(t^2 - 3) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1) $t - 1 = 0 \implies t_1 = 1$

2) $t^2 - 3 = 0 \implies t^2 = 3 \implies t_{2,3} = \pm\sqrt{3}$

Теперь выполним обратную замену для $\tan x$:

1) $\tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\tan x = \sqrt{3} \implies x = \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3) $\tan x = -\sqrt{3} \implies x = -\frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Последние два решения можно объединить.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, x = \pm\frac{\pi}{3} + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

б) $\sin^3 x + 5 \sin^2 x \cos x = 6 \cos^3 x$

Это также однородное тригонометрическое уравнение третьей степени. Перенесем все слагаемые в левую часть:

$\sin^3 x + 5 \sin^2 x \cos x - 6 \cos^3 x = 0$

Аналогично пункту а), можно показать, что $\cos x \neq 0$. Поэтому разделим обе части уравнения на $\cos^3 x$:

$\frac{\sin^3 x}{\cos^3 x} + \frac{5 \sin^2 x \cos x}{\cos^3 x} - \frac{6 \cos^3 x}{\cos^3 x} = 0$

$\tan^3 x + 5 \tan^2 x - 6 = 0$

Введем замену $t = \tan x$:

$t^3 + 5t^2 - 6 = 0$

Найдем один из корней этого кубического уравнения подбором. Проверим целые делители свободного члена (-6): $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.

При $t = 1$: $1^3 + 5(1)^2 - 6 = 1 + 5 - 6 = 0$. Значит, $t=1$ — корень уравнения. Разделим многочлен $(t^3 + 5t^2 - 6)$ на двучлен $(t-1)$ с помощью деления "уголком" или по схеме Горнера. В результате деления получаем квадратный трехчлен $t^2 + 6t + 6$.

Таким образом, уравнение можно записать в виде:

$(t - 1)(t^2 + 6t + 6) = 0$

Решениями являются:

1) $t - 1 = 0 \implies t_1 = 1$

2) $t^2 + 6t + 6 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 36 - 24 = 12$

$t_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -3 \pm \sqrt{3}$

Выполним обратную замену для $\tan x$:

1) $\tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\tan x = -3 + \sqrt{3} \implies x = \arctan(-3 + \sqrt{3}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3) $\tan x = -3 - \sqrt{3} \implies x = \arctan(-3 - \sqrt{3}) + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Последние два решения можно объединить.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, x = \arctan(-3 \pm \sqrt{3}) + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.