Номер 27.25, страница 170, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 27. Общие методы решения уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 27.25, страница 170.

27.25. Сколько корней имеет уравнение:

a) $\log_{\pi} x = \sin x;$

б) $x^2 + 1 = \cos x;$

в) $\log_{3\pi} x = \cos x;$

г) $\sin x = \frac{1}{9} x?$

а) Для решения уравнения $\log_{\pi} x = \sin x$ рассмотрим графики функций $y = \log_{\pi} x$ и $y = \sin x$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмической функции: $x > 0$.
Область значений функции $y = \sin x$ есть отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, для существования решения необходимо, чтобы $-1 \le \log_{\pi} x \le 1$.
Это неравенство равносильно системе:
$\log_{\pi} x \le 1 \implies x \le \pi$
$\log_{\pi} x \ge -1 \implies x \ge \pi^{-1} \implies x \ge \frac{1}{\pi}$
Таким образом, все возможные корни уравнения лежат на отрезке $[\frac{1}{\pi}, \pi]$, что примерно равно $[0.318, 3.14]$.
На интервале $(0, 1]$ имеем $\log_{\pi} x \le 0$, в то время как на интервале $(0, \pi)$ функция $\sin x > 0$. Следовательно, на интервале $(0, 1]$ решений нет, так как одна часть уравнения неположительна, а другая положительна.
Рассмотрим интервал $(1, \pi)$.
На этом интервале $\log_{\pi} x > 0$ и $\sin x > 0$, так что корни возможны.
Рассмотрим функцию $f(x) = \sin x - \log_{\pi} x$. Найдем количество ее нулей на интервале $(1, \pi)$.
Значения на концах интервала:
$f(1) = \sin 1 - \log_{\pi} 1 = \sin 1 - 0 = \sin 1 > 0$.
$f(\pi) = \sin \pi - \log_{\pi} \pi = 0 - 1 = -1 < 0$.
Поскольку функция $f(x)$ непрерывна на $[1, \pi]$ и принимает на его концах значения разного знака, по теореме о промежуточном значении, на интервале $(1, \pi)$ есть как минимум один корень.
Найдем производную функции: $f'(x) = \cos x - \frac{1}{x \ln \pi}$.
На интервале $(1, \pi)$ имеем $1 < x < \pi$. На интервале $(1, \pi/2)$ $\cos x > 0$, а на $(\pi/2, \pi)$ $\cos x < 0$. Можно показать, что на всем интервале $(1, \pi)$ производная $f'(x)$ отрицательна. Это означает, что функция $f(x)$ монотонно убывает на этом интервале.
Так как монотонно убывающая функция может пересекать ось абсцисс не более одного раза, а мы уже доказали наличие как минимум одного корня, то корень на интервале $(1, \pi)$ ровно один.
Ответ: 1 корень.

б) Рассмотрим уравнение $x^2 + 1 = \cos x$.
Оценим левую и правую части уравнения.
Левая часть: $f(x) = x^2 + 1$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2 + 1 \ge 1$. Наименьшее значение левой части равно 1 и достигается при $x=0$.
Правая часть: $g(x) = \cos x$. Область значений функции косинус есть отрезок $[-1, 1]$, то есть $\cos x \le 1$. Наибольшее значение правой части равно 1.
Равенство $x^2 + 1 = \cos x$ возможно только в том случае, когда обе части одновременно принимают свое предельное значение, равное 1.
Это приводит к системе уравнений:
$x^2 + 1 = 1$
$\cos x = 1$
Из первого уравнения получаем $x^2 = 0$, откуда $x=0$.
Проверим, удовлетворяет ли это значение второму уравнению: $\cos 0 = 1$. Это верное равенство.
Таким образом, единственным решением уравнения является $x=0$.
Ответ: 1 корень.

в) Для решения уравнения $\log_{3\pi} x = \cos x$ используем графический метод, анализируя пересечения графиков функций $y = \log_{3\pi} x$ и $y = \cos x$.
ОДЗ: $x > 0$.
Так как область значений косинуса $[-1, 1]$, то корни могут существовать только при условии $-1 \le \log_{3\pi} x \le 1$, что равносильно $\frac{1}{3\pi} \le x \le 3\pi$. Приближенно $x \in [0.106, 9.42]$.
1. На интервале $(0, \pi/2) \approx (0, 1.57)$: $y=\log_{3\pi} x$ возрастает от $-\infty$ до $\log_{3\pi}(\pi/2) > 0$. $y=\cos x$ убывает от 1 до 0. В точке $x=1$ имеем $\log_{3\pi} 1 = 0$ и $\cos 1 > 0$. В точке $x=\pi/2$ имеем $\log_{3\pi}(\pi/2) > 0$ и $\cos(\pi/2) = 0$. Так как на одном конце интервала логарифм меньше косинуса, а на другом больше, и обе функции непрерывны, то на этом интервале есть как минимум один корень. Функция $\log_{3\pi} x - \cos x$ на этом интервале строго возрастает, так что корень ровно один.
2. На интервале $[\pi/2, 3\pi/2] \approx [1.57, 4.71]$: $\cos x \le 0$. В то же время, $x > 1$, поэтому $\log_{3\pi} x > \log_{3\pi} 1 = 0$. Так как левая часть положительна, а правая неположительна, корней на этом интервале нет.
3. На интервале $(3\pi/2, 5\pi/2) \approx (4.71, 7.85)$: $\cos x > 0$.
- При $x=3\pi/2$, $\cos(3\pi/2)=0$, а $\log_{3\pi}(3\pi/2) = 1-\log_{3\pi}2 > 0$. Итак, $\log_{3\pi} x > \cos x$.
- При $x=2\pi \approx 6.28$, $\cos(2\pi)=1$, а $\log_{3\pi}(2\pi) < \log_{3\pi}(3\pi) = 1$. Итак, $\log_{3\pi} x < \cos x$.
- При $x=5\pi/2$, $\cos(5\pi/2)=0$, а $\log_{3\pi}(5\pi/2) > 0$. Итак, $\log_{3\pi} x > \cos x$.
График $y=\log_{3\pi} x$ — монотонно возрастающая функция. График $y=\cos x$ на этом интервале сначала возрастает от 0 до 1 (на $(3\pi/2, 2\pi)$), а затем убывает от 1 до 0 (на $(2\pi, 5\pi/2)$).
Поскольку на $(3\pi/2, 2\pi)$ функция $\log_{3\pi}x$ переходит от "быть больше" к "быть меньше" $\cos x$, там есть корень.
Поскольку на $(2\pi, 5\pi/2)$ функция $\log_{3\pi}x$ переходит от "быть меньше" к "быть больше" $\cos x$, там есть еще один корень. Итого 2 корня на этом интервале.
4. На интервале $[5\pi/2, 3\pi] \approx [7.85, 9.42]$: $\cos x \le 0$, а $\log_{3\pi} x > 0$. Корней нет.
За пределами $x=3\pi$, $\log_{3\pi} x > 1$, а $\cos x \le 1$, так что пересечений больше нет.
Суммируя, получаем $1+0+2+0=3$ корня.
Ответ: 3 корня.

г) Рассмотрим уравнение $\sin x = \frac{1}{9}x$.
Решения уравнения — это точки пересечения графика синусоиды $y = \sin x$ и прямой $y = \frac{1}{9}x$.
1. Очевидно, $x=0$ является корнем, так как $\sin 0 = 0$ и $\frac{1}{9} \cdot 0 = 0$.
2. Так как $|\sin x| \le 1$, то для существования других корней должно выполняться $|\frac{1}{9}x| \le 1$, что означает $|x| \le 9$. Таким образом, все корни лежат в отрезке $[-9, 9]$.
3. Функция $f(x) = \sin x - \frac{1}{9}x$ является нечетной, так как $f(-x) = \sin(-x) - \frac{1}{9}(-x) = -\sin x + \frac{1}{9}x = -f(x)$. Это значит, что количество положительных корней равно количеству отрицательных. Достаточно найти число положительных корней и умножить на 2, а затем прибавить корень $x=0$.
Ищем корни на интервале $(0, 9]$.
- Интервал $(0, \pi] \approx (0, 3.14]$. В начале интервала (при $x \to 0^+$), $\sin x \approx x$, а $x > x/9$. Значит, график синуса идет выше прямой. На конце интервала $\sin \pi = 0$, а $\pi/9 > 0$. Значит, прямая выше синусоиды. Следовательно, на интервале $(0, \pi)$ есть один корень.
- Интервал $(\pi, 2\pi] \approx (3.14, 6.28]$. Здесь $\sin x \le 0$, а $\frac{1}{9}x > 0$. Корней нет.
- Интервал $(2\pi, 3\pi) \approx (6.28, 9.42)$. Нас интересует участок $(2\pi, 9]$. Прямая $y=x/9$ поднимается от $y=2\pi/9 \approx 0.7$ до $y=1$. В этом же интервале синусоида совершает положительную "арку", поднимаясь от 0 до 1 (в точке $x=5\pi/2 \approx 7.85$) и опускаясь до $\sin 9 \approx 0.41$.
При $x=2\pi$, $\sin(2\pi)=0 < (2\pi)/9$.
При $x=5\pi/2$, $\sin(5\pi/2)=1 > (5\pi/18) \approx 0.87$.
При $x=9$, $\sin(9) \approx 0.41 < 9/9=1$.
Так как синусоида сначала ниже прямой, потом выше, а потом снова ниже, то на интервале $(2\pi, 9]$ есть два корня.
Всего положительных корней: $1 + 2 = 3$.
Столько же отрицательных корней из-за нечетности: 3.
Общее число корней: $3$ (положительных) $+ 3$ (отрицательных) $+ 1$ (нулевой) $= 7$.
Ответ: 7 корней.