Номер 27.21, страница 169, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 27. Общие методы решения уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 27.21, страница 169.

27.21. Решите уравнение, используя функционально-графические методы:

а) $x = \sqrt[3]{x}$;

б) $|x| = \sqrt[5]{x}$.

а) $x = \sqrt[3]{x}$

Для решения данного уравнения функционально-графическим методом построим в одной системе координат графики двух функций: $y_1 = x$ и $y_2 = \sqrt[3]{x}$. Решениями уравнения будут абсциссы точек пересечения этих графиков.

1. График функции $y_1 = x$ — это прямая линия, которая является биссектрисой первого и третьего координатных углов. Она проходит через точки $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$.

2. График функции $y_2 = \sqrt[3]{x}$ — это график кубического корня. Он также проходит через начало координат, является симметричным относительно начала координат и проходит через точки $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$.

При построении видно, что графики пересекаются в трех точках. Найдем их координаты.
- Если $x = -1$, то $y_1 = -1$ и $y_2 = \sqrt[3]{-1} = -1$. Точка $(-1, -1)$ является точкой пересечения.
- Если $x = 0$, то $y_1 = 0$ и $y_2 = \sqrt[3]{0} = 0$. Точка $(0, 0)$ является точкой пересечения.
- Если $x = 1$, то $y_1 = 1$ и $y_2 = \sqrt[3]{1} = 1$. Точка $(1, 1)$ является точкой пересечения.

При $x > 1$, $x > \sqrt[3]{x}$ (например, при $x=8$, $8 > \sqrt[3]{8}=2$), поэтому график $y=x$ лежит выше графика $y=\sqrt[3]{x}$.
При $0 < x < 1$, $x < \sqrt[3]{x}$ (например, при $x=1/8$, $1/8 < \sqrt[3]{1/8}=1/2$), поэтому график $y=x$ лежит ниже графика $y=\sqrt[3]{x}$.
Аналогично можно рассмотреть отрицательные значения. Таким образом, других точек пересечения нет.

Абсциссы точек пересечения и есть корни уравнения.
Ответ: $x = -1, x = 0, x = 1$.

б) $|x| = \sqrt[5]{x}$

Решим уравнение с помощью построения графиков функций $y_1 = |x|$ и $y_2 = \sqrt[5]{x}$.

1. График функции $y_1 = |x|$ — это "галочка", состоящая из двух лучей: $y=x$ при $x \ge 0$ и $y=-x$ при $x < 0$. Весь график расположен в верхней полуплоскости ($y \ge 0$).

2. График функции $y_2 = \sqrt[5]{x}$ — это график корня пятой степени. Он проходит через начало координат, симметричен относительно него.

Поскольку левая часть уравнения $|x|$ всегда неотрицательна, то и правая часть $\sqrt[5]{x}$ также должна быть неотрицательной. Это означает, что $\sqrt[5]{x} \ge 0$, что выполняется при $x \ge 0$. Следовательно, мы ищем решения только для $x \ge 0$.

Для $x \ge 0$ уравнение принимает вид $x = \sqrt[5]{x}$. Мы ищем точки пересечения луча $y=x$ (при $x \ge 0$) и графика $y=\sqrt[5]{x}$ (при $x \ge 0$).
- Если $x = 0$, то $y_1 = |0| = 0$ и $y_2 = \sqrt[5]{0} = 0$. Точка $(0, 0)$ является точкой пересечения.
- Если $x = 1$, то $y_1 = |1| = 1$ и $y_2 = \sqrt[5]{1} = 1$. Точка $(1, 1)$ является точкой пересечения.

При $0 < x < 1$, выполняется неравенство $x < \sqrt[5]{x}$, а при $x > 1$ выполняется неравенство $x > \sqrt[5]{x}$. Таким образом, других точек пересечения в области $x \ge 0$ нет.
В области $x < 0$ график $y=|x|$ лежит во второй координатной четверти (значения $y$ положительны), а график $y=\sqrt[5]{x}$ лежит в третьей координатной четверти (значения $y$ отрицательны), поэтому они не могут пересекаться, кроме как в точке $(0,0)$, которая уже учтена.

Следовательно, уравнение имеет два корня.
Ответ: $x = 0, x = 1$.