Номер 27.14, страница 169, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 27. Общие методы решения уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 27.14, страница 169.

27.14. a) $2^x \cdot x - 4x - 4 + 2^x = 0;$

б) $3^x \cdot x - 3^{x+1} + 27 = 9x.$

а) $2^x \cdot x - 4x - 4 + 2^x = 0$

Сгруппируем слагаемые для последующего разложения на множители:

$(2^x \cdot x + 2^x) - (4x + 4) = 0$

Вынесем общие множители за скобки в каждой из групп:

$2^x(x + 1) - 4(x + 1) = 0$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(x + 1)$:

$(x + 1)(2^x - 4) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум независимым уравнениям:

1) $x + 1 = 0$, откуда находим $x_1 = -1$.

2) $2^x - 4 = 0$, откуда $2^x = 4$. Так как $4 = 2^2$, получаем $2^x = 2^2$, что дает $x_2 = 2$.

Ответ: $x = -1, x = 2$.

б) $3^x \cdot x - 3^{x+1} + 27 = 9x$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

$3^x \cdot x - 3^{x+1} - 9x + 27 = 0$

Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, чтобы упростить член $3^{x+1}$:

$3^x \cdot x - 3^x \cdot 3 - 9x + 27 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(3^x \cdot x - 3 \cdot 3^x) - (9x - 27) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$3^x(x - 3) - 9(x - 3) = 0$

Вынесем общий множитель $(x - 3)$ за скобки:

$(x - 3)(3^x - 9) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1) $x - 3 = 0$, откуда $x_1 = 3$.

2) $3^x - 9 = 0$, откуда $3^x = 9$. Так как $9 = 3^2$, получаем $3^x = 3^2$, что дает $x_2 = 2$.

Ответ: $x = 2, x = 3$.