Номер 27.11, страница 168, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 27. Общие методы решения уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 27.11, страница 168.

27.11. a) $log_{\frac{2}{3}} (7x + 9) - log_{\frac{2}{3}} (8 - x) = 1;$

б) $log_{1,2} (3x - 1) + log_{1,2} (3x + 1) = log_{1,2} 8.$

а) $\log_{\frac{2}{3}}(7x + 9) - \log_{\frac{2}{3}}(8 - x) = 1$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$ \begin{cases} 7x + 9 > 0 \\ 8 - x > 0 \end{cases} $

$ \begin{cases} 7x > -9 \\ x < 8 \end{cases} $

$ \begin{cases} x > -\frac{9}{7} \\ x < 8 \end{cases} $

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\frac{9}{7}; 8)$.

2. Используем свойство разности логарифмов: $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$.

$\log_{\frac{2}{3}}\left(\frac{7x + 9}{8 - x}\right) = 1$

3. По определению логарифма, если $\log_a b = c$, то $a^c = b$. Применим это к нашему уравнению:

$\frac{7x + 9}{8 - x} = \left(\frac{2}{3}\right)^1$

$\frac{7x + 9}{8 - x} = \frac{2}{3}$

4. Решим полученное уравнение, используя основное свойство пропорции:

$3(7x + 9) = 2(8 - x)$

$21x + 27 = 16 - 2x$

$21x + 2x = 16 - 27$

$23x = -11$

$x = -\frac{11}{23}$

5. Проверим, принадлежит ли найденный корень ОДЗ $(-\frac{9}{7}; 8)$.

$-\frac{9}{7} \approx -1.28$ и $-\frac{11}{23} \approx -0.48$.

Так как $-1.28 < -0.48 < 8$, корень $x = -\frac{11}{23}$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = -\frac{11}{23}$

б) $\log_{1,2}(3x - 1) + \log_{1,2}(3x + 1) = \log_{1,2} 8$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$ \begin{cases} 3x - 1 > 0 \\ 3x + 1 > 0 \end{cases} $

$ \begin{cases} 3x > 1 \\ 3x > -1 \end{cases} $

$ \begin{cases} x > \frac{1}{3} \\ x > -\frac{1}{3} \end{cases} $

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > \frac{1}{3}$.

2. Используем свойство суммы логарифмов: $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$.

$\log_{1,2}((3x - 1)(3x + 1)) = \log_{1,2} 8$

Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$\log_{1,2}(9x^2 - 1) = \log_{1,2} 8$

3. Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы:

$9x^2 - 1 = 8$

$9x^2 = 9$

$x^2 = 1$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

4. Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x > \frac{1}{3}$).

Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию $1 > \frac{1}{3}$.

Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию $-1 > \frac{1}{3}$, следовательно, это посторонний корень.

Таким образом, решением уравнения является только $x=1$.

Ответ: $x = 1$