Номер 27.5, страница 168, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 27. Общие методы решения уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 27.5, страница 168.

27.5. а) $log_3 (x^2 - 10x + 40) = log_3 (4x - 8);$

б) $log_{0.8} (9x - 4x^2) = log_{0.8} (x^3 + 4x^2);$

в) $log_{\sqrt{3}} \frac{x - 2}{2x - 4} = log_{\sqrt{3}} \frac{x + 1}{x + 2};$

г) $log_{0.1} \sqrt{5x - 6} = log_{0.1} \sqrt{x^2 - 2}.$

а) $log_3(x^2 - 10x + 40) = log_3(4x - 8)$

Это уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 10x + 40 = 4x - 8 \\ 4x - 8 > 0 \end{cases}$

Решим второе неравенство (область допустимых значений):

$4x > 8$

$x > 2$

Теперь решим первое уравнение:

$x^2 - 10x + 40 - 4x + 8 = 0$

$x^2 - 14x + 48 = 0$

По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 14$

$x_1 \cdot x_2 = 48$

Отсюда находим корни: $x_1 = 6$ и $x_2 = 8$.

Оба корня удовлетворяют условию $x > 2$.

Ответ: 6; 8.

б) $log_{0,8}(9x - 4x^2) = log_{0,8}(x^3 + 4x^2)$

Уравнение равносильно системе, включающей равенство подлогарифмических выражений и условия их положительности (ОДЗ):

$\begin{cases} 9x - 4x^2 = x^3 + 4x^2 \\ 9x - 4x^2 > 0 \\ x^3 + 4x^2 > 0 \end{cases}$

Решим неравенства ОДЗ:

1) $9x - 4x^2 > 0 \implies x(9 - 4x) > 0$. Корни $x=0$ и $x=9/4=2.25$. Ветви параболы направлены вниз, значит решение: $x \in (0; 2.25)$.

2) $x^3 + 4x^2 > 0 \implies x^2(x + 4) > 0$. Так как $x^2 \ge 0$, то неравенство выполняется при $x+4 > 0$ и $x \ne 0$, то есть $x > -4$ и $x \ne 0$.

Пересечение ОДЗ: $x \in (0; 2.25)$.

Теперь решим уравнение:

$x^3 + 4x^2 - 9x + 4x^2 = 0$

$x^3 + 8x^2 - 9x = 0$

$x(x^2 + 8x - 9) = 0$

Получаем корни: $x_1 = 0$ или $x^2 + 8x - 9 = 0$.

Для квадратного уравнения по теореме Виета: $x_2 = 1$, $x_3 = -9$.

Проверим корни по ОДЗ $x \in (0; 2.25)$:

$x_1 = 0$ - не входит в интервал.

$x_2 = 1$ - входит в интервал.

$x_3 = -9$ - не входит в интервал.

Следовательно, подходит только один корень.

Ответ: 1.

в) $log_{\sqrt{3}} \frac{x-2}{2x-4} = log_{\sqrt{3}} \frac{x+1}{x+2}$

Заметим, что подлогарифмическое выражение слева можно упростить:

$\frac{x-2}{2x-4} = \frac{x-2}{2(x-2)} = \frac{1}{2}$ при условии, что $x-2 \ne 0$, то есть $x \ne 2$.

Тогда уравнение принимает вид: $log_{\sqrt{3}} \frac{1}{2} = log_{\sqrt{3}} \frac{x+1}{x+2}$

Это уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} \frac{1}{2} = \frac{x+1}{x+2} \\ x \ne 2 \\ \frac{x+1}{x+2} > 0 \end{cases}$

Решим уравнение:

$1 \cdot (x+2) = 2 \cdot (x+1)$

$x+2 = 2x+2$

$x = 0$

Проверим найденный корень. Он удовлетворяет условию $x \ne 2$. Проверим условие положительности дроби:

При $x=0$, $\frac{0+1}{0+2} = \frac{1}{2} > 0$. Условие выполняется.

Ответ: 0.

г) $log_{0,1} \sqrt{5x-6} = log_{0,1} \sqrt{x^2-2}$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} \sqrt{5x-6} = \sqrt{x^2-2} \\ 5x-6 > 0 \\ x^2-2 > 0 \end{cases}$

Решим неравенства ОДЗ:

1) $5x - 6 > 0 \implies 5x > 6 \implies x > 1.2$

2) $x^2 - 2 > 0 \implies x^2 > 2 \implies x \in (-\infty; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; +\infty)$

Учитывая, что $\sqrt{2} \approx 1.414$, пересечением ОДЗ будет интервал $x > \sqrt{2}$.

Теперь решим уравнение. Возведем обе части в квадрат:

$5x-6 = x^2-2$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

По теореме Виета находим корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 4$.

Проверим корни по ОДЗ $x > \sqrt{2}$:

$x_1 = 1$ - не удовлетворяет условию, так как $1 < \sqrt{2}$.

$x_2 = 4$ - удовлетворяет условию, так как $4 > \sqrt{2}$.

Следовательно, решением является только один корень.

Ответ: 4.