Номер 26.20, страница 167, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 26. Равносильность уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 26.20, страница 167.

26.20. При каких значениях параметра $a$ уравнение

$x^2 - ax + \sin a = 0$

является следствием уравнения

$x + \sin x - \sin a = a?$

Условие, что уравнение $x^2 - ax + \sin a = 0$ является следствием уравнения $x + \sin x - \sin a = a$, означает, что все корни второго уравнения также являются корнями первого.

Рассмотрим второе уравнение: $x + \sin x - \sin a = a$.

Перепишем его в виде: $x + \sin x = a + \sin a$

Введем функцию $f(t) = t + \sin t$. Тогда уравнение принимает вид $f(x) = f(a)$.

Для того чтобы найти решения этого уравнения, исследуем функцию $f(t)$ на монотонность. Найдем ее производную: $f'(t) = (t + \sin t)' = 1 + \cos t$

Известно, что значение $\cos t$ находится в пределах от $-1$ до $1$. Следовательно, производная $f'(t) = 1 + \cos t$ всегда неотрицательна, то есть $f'(t) \ge 0$ для всех $t \in \mathbb{R}$.

Производная обращается в ноль только в изолированных точках, где $\cos t = -1$, то есть при $t = \pi + 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$. Это означает, что функция $f(t)$ является строго возрастающей на всей числовой прямой.

Поскольку функция $f(t)$ строго монотонна, уравнение $f(x) = f(a)$ имеет единственное решение. Очевидно, что этим решением является $x = a$.

Итак, второе уравнение при любом значении параметра $a$ имеет единственный корень $x = a$.

По условию задачи этот корень должен удовлетворять и первому уравнению $x^2 - ax + \sin a = 0$. Подставим $x = a$ в это уравнение: $a^2 - a \cdot a + \sin a = 0$

$a^2 - a^2 + \sin a = 0$

$\sin a = 0$

Решениями этого тригонометрического уравнения являются значения $a$, равные: $a = k\pi$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

При этих значениях $a$ единственный корень второго уравнения является корнем первого, что и требуется по условию задачи.

Ответ: $a = k\pi, k \in \mathbb{Z}$.