Номер 27.3, страница 168, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 27. Общие методы решения уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 27.3, страница 168.

Решите уравнение:

27.3. a) $2^{\sqrt{x-3}} = \frac{1}{2}\sqrt{32}$;

б) $10^{\log_2 (x-3)} \cdot 0,00001 = 0,1^{\log_2 (x-7)}$.

а) $2\sqrt{x-3} = \frac{1}{2}\sqrt{32}$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x - 3 \ge 0$

$x \ge 3$

2. Упростим правую часть уравнения:

$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$

Тогда $\frac{1}{2}\sqrt{32} = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.

3. Подставим упрощенное значение в исходное уравнение:

$2\sqrt{x-3} = 2\sqrt{2}$

4. Разделим обе части уравнения на 2:

$\sqrt{x-3} = \sqrt{2}$

5. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:

$(\sqrt{x-3})^2 = (\sqrt{2})^2$

$x-3 = 2$

$x = 5$

6. Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ ($x \ge 3$):

$5 \ge 3$. Корень подходит.

Ответ: $5$.

б) $10^{\log_2(x-3)} \cdot 0.00001 = 0.1^{\log_2(x-7)}$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком логарифма должны быть строго положительными:

$\begin{cases} x-3 > 0 \\ x-7 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 3 \\ x > 7 \end{cases}$

Следовательно, ОДЗ: $x > 7$.

2. Представим числовые коэффициенты в виде степеней числа 10:

$0.00001 = 10^{-5}$

$0.1 = 10^{-1}$

3. Подставим эти значения в уравнение:

$10^{\log_2(x-3)} \cdot 10^{-5} = (10^{-1})^{\log_2(x-7)}$

4. Применим свойства степеней ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $(a^m)^n = a^{mn}$):

$10^{\log_2(x-3) - 5} = 10^{-\log_2(x-7)}$

5. Так как основания степеней равны, можем приравнять их показатели:

$\log_2(x-3) - 5 = -\log_2(x-7)$

6. Перенесем логарифмы в одну часть уравнения, а число — в другую:

$\log_2(x-3) + \log_2(x-7) = 5$

7. Используем свойство логарифмов ($\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$):

$\log_2((x-3)(x-7)) = 5$

8. По определению логарифма ($\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$):

$(x-3)(x-7) = 2^5$

$(x-3)(x-7) = 32$

9. Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:

$x^2 - 7x - 3x + 21 = 32$

$x^2 - 10x + 21 - 32 = 0$

$x^2 - 10x - 11 = 0$

По теореме Виета находим корни:

$x_1 + x_2 = 10$

$x_1 \cdot x_2 = -11$

$x_1 = 11$, $x_2 = -1$.

10. Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > 7$):

$x_1 = 11$: $11 > 7$. Корень подходит.

$x_2 = -1$: $-1 > 7$ (неверно). Это посторонний корень.

Ответ: $11$.