Номер 27.10, страница 168, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 27. Общие методы решения уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 27.10, страница 168.

27.10. a) $(\sqrt{3})^{\text{tg }x} = \frac{3\sqrt{3}}{3^{\text{tg }x}}$;

б) $(\sqrt{2})^{2\text{ cos }x} = \frac{1}{2 \cdot 2^{\text{cos }x}}$.

а)

Исходное уравнение:

$(\sqrt{3})^{\text{tg } x} = \frac{3\sqrt{3}}{3^{\text{tg } x}}$

Для решения этого показательного уравнения приведем обе его части к одному основанию, в данном случае к основанию 3. Для этого воспользуемся свойствами степеней: $\sqrt{a} = a^{1/2}$, $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

Преобразуем левую часть уравнения:

$(\sqrt{3})^{\text{tg } x} = (3^{1/2})^{\text{tg } x} = 3^{\frac{1}{2}\text{tg } x}$

Преобразуем правую часть уравнения:

$\frac{3\sqrt{3}}{3^{\text{tg } x}} = \frac{3^1 \cdot 3^{1/2}}{3^{\text{tg } x}} = \frac{3^{1+\frac{1}{2}}}{3^{\text{tg } x}} = \frac{3^{3/2}}{3^{\text{tg } x}} = 3^{\frac{3}{2} - \text{tg } x}$

Теперь уравнение принимает вид:

$3^{\frac{1}{2}\text{tg } x} = 3^{\frac{3}{2} - \text{tg } x}$

Так как основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$\frac{1}{2}\text{tg } x = \frac{3}{2} - \text{tg } x$

Умножим все члены уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:

$\text{tg } x = 3 - 2\text{tg } x$

Перенесем все слагаемые, содержащие $\text{tg } x$, в левую часть:

$\text{tg } x + 2\text{tg } x = 3$

$3\text{tg } x = 3$

$\text{tg } x = 1$

Теперь решим простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для $\text{tg } x = a$ имеет вид $x = \text{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \text{arctg}(1) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Данное решение входит в область определения тангенса ($x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$).

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Исходное уравнение:

$(\sqrt{2})^{2 \cos x} = \frac{1}{2 \cdot 2^{\cos x}}$

Приведем обе части уравнения к основанию 2, используя свойства степеней: $\sqrt{a} = a^{1/2}$, $(a^m)^n = a^{mn}$, $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $\frac{1}{a^k} = a^{-k}$.

Преобразуем левую часть:

$(\sqrt{2})^{2 \cos x} = (2^{1/2})^{2 \cos x} = 2^{\frac{1}{2} \cdot 2 \cos x} = 2^{\cos x}$

Преобразуем правую часть:

$\frac{1}{2 \cdot 2^{\cos x}} = \frac{1}{2^1 \cdot 2^{\cos x}} = \frac{1}{2^{1+\cos x}} = 2^{-(1+\cos x)} = 2^{-1-\cos x}$

Подставим преобразованные части обратно в уравнение:

$2^{\cos x} = 2^{-1-\cos x}$

Поскольку основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$\cos x = -1 - \cos x$

Перенесем все слагаемые с $\cos x$ в одну сторону:

$\cos x + \cos x = -1$

$2\cos x = -1$

$\cos x = -\frac{1}{2}$

Решим это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для $\cos x = a$ имеет вид $x = \pm \text{arccos}(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \pm \text{arccos}(-\frac{1}{2}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Поскольку $\text{arccos}(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$, получаем окончательное решение:

$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.