Номер 27.16, страница 169, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 27. Общие методы решения уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 27.16, страница 169.

27.16. a) $ \sin 2x = \sin x; $

б) $ \cos^2 (\pi - x) + \sin 2x = 0; $

в) $ \sqrt{3} \cos 3x = \sin 6x; $

г) $ \sin^2 \left(\pi + \frac{x}{2}\right) - \frac{1}{2}\sin x = 0. $

а) Исходное уравнение: $\sin 2x = \sin x$. Перенесем все члены в левую часть: $\sin 2x - \sin x = 0$. Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$: $2 \sin x \cos x - \sin x = 0$. Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки: $\sin x (2 \cos x - 1) = 0$. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:
1) $\sin x = 0$. Решения этого уравнения: $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2) $2 \cos x - 1 = 0$, откуда $\cos x = \frac{1}{2}$. Решения этого уравнения: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Объединяя решения, получаем ответ.
Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Исходное уравнение: $\cos^2(\pi - x) + \sin 2x = 0$. Используем формулу приведения $\cos(\pi - x) = -\cos x$, тогда $\cos^2(\pi - x) = (-\cos x)^2 = \cos^2 x$. Также применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$. Уравнение принимает вид: $\cos^2 x + 2 \sin x \cos x = 0$. Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки: $\cos x (\cos x + 2 \sin x) = 0$. Это приводит к совокупности двух уравнений:
1) $\cos x = 0$. Решения этого уравнения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2) $\cos x + 2 \sin x = 0$. В этом уравнении $\cos x \neq 0$, иначе из него следовало бы, что и $\sin x = 0$, что невозможно. Поэтому можно разделить обе части уравнения на $\cos x$: $1 + 2 \tan x = 0$, откуда $\tan x = -\frac{1}{2}$. Решения этого уравнения: $x = \arctan(-\frac{1}{2}) + \pi n = -\arctan(\frac{1}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Объединяя решения, получаем ответ.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = -\arctan(\frac{1}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) Исходное уравнение: $\sqrt{3} \cos 3x = \sin 6x$. Применим формулу синуса двойного угла $\sin 6x = \sin(2 \cdot 3x) = 2 \sin 3x \cos 3x$. Уравнение принимает вид: $\sqrt{3} \cos 3x = 2 \sin 3x \cos 3x$. Перенесем все члены в одну сторону: $2 \sin 3x \cos 3x - \sqrt{3} \cos 3x = 0$. Вынесем общий множитель $\cos 3x$ за скобки: $\cos 3x (2 \sin 3x - \sqrt{3}) = 0$. Это приводит к совокупности двух уравнений:
1) $\cos 3x = 0$. Отсюда $3x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, и $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2) $2 \sin 3x - \sqrt{3} = 0$, откуда $\sin 3x = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Решения этого уравнения для $3x$ имеют вид $3x = (-1)^n \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi n = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n$. Тогда $x = \frac{(-1)^n \pi}{9} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Объединяя решения, получаем ответ.
Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{(-1)^n \pi}{9} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

г) Исходное уравнение: $\sin^2(\pi + \frac{x}{2}) - \frac{1}{2} \sin x = 0$. Используем формулу приведения $\sin(\pi + \alpha) = -\sin \alpha$, тогда $\sin(\pi + \frac{x}{2}) = -\sin(\frac{x}{2})$ и $\sin^2(\pi + \frac{x}{2}) = (-\sin(\frac{x}{2}))^2 = \sin^2(\frac{x}{2})$. Применим формулу синуса двойного угла для $\sin x = \sin(2 \cdot \frac{x}{2}) = 2 \sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2})$. Подставим в уравнение: $\sin^2(\frac{x}{2}) - \frac{1}{2} \cdot 2 \sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2}) = 0$, что упрощается до $\sin^2(\frac{x}{2}) - \sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2}) = 0$. Вынесем общий множитель $\sin(\frac{x}{2})$ за скобки: $\sin(\frac{x}{2}) \left( \sin(\frac{x}{2}) - \cos(\frac{x}{2}) \right) = 0$. Это приводит к совокупности двух уравнений:
1) $\sin(\frac{x}{2}) = 0$. Отсюда $\frac{x}{2} = \pi k$, и $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2) $\sin(\frac{x}{2}) - \cos(\frac{x}{2}) = 0$, или $\sin(\frac{x}{2}) = \cos(\frac{x}{2})$. В этом уравнении $\cos(\frac{x}{2}) \neq 0$, иначе и $\sin(\frac{x}{2}) = 0$, что невозможно. Разделим обе части на $\cos(\frac{x}{2})$: $\tan(\frac{x}{2}) = 1$. Отсюда $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi n$, и $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Объединяя решения, получаем ответ.
Ответ: $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.