Номер 27.12, страница 169, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 27. Общие методы решения уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 27.12, страница 169.

Решите уравнение методом разложения на множители:

27.12. а) $x^3 - 9x^2 + 20x = 0;$

б) $x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0;$

в) $x^5 + 8x^4 + 12x^3 = 0;$

г) $x^3 + x^2 - 9x - 9 = 0.$

а) $x^3 - 9x^2 + 20x = 0$

Сначала вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 9x + 20) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, у нас есть два случая:

1) $x_1 = 0$

2) $x^2 - 9x + 20 = 0$

Решим квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета. Нам нужно найти два числа, сумма которых равна 9, а произведение равно 20. Это числа 4 и 5.

Следовательно, $x_2 = 4$ и $x_3 = 5$.

Также можно решить через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 - 80 = 1$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm \sqrt{1}}{2}$

$x_2 = \frac{9 - 1}{2} = 4$

$x_3 = \frac{9 + 1}{2} = 5$

Таким образом, у уравнения три корня.

Ответ: $0; 4; 5$.

б) $x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0$

Сгруппируем слагаемые, чтобы разложить многочлен на множители:

$(x^3 - 3x^2) + (-4x + 12) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x - 3) - 4(x - 3) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x - 3)$ за скобки:

$(x - 3)(x^2 - 4) = 0$

Выражение $x^2 - 4$ является разностью квадратов, которую можно разложить как $(x - 2)(x + 2)$.

$(x - 3)(x - 2)(x + 2) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$x - 3 = 0 \implies x_1 = 3$

$x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$

$x + 2 = 0 \implies x_3 = -2$

Корни уравнения отсортированы в порядке возрастания.

Ответ: $-2; 2; 3$.

в) $x^5 + 8x^4 + 12x^3 = 0$

Вынесем общий множитель $x^3$ за скобки:

$x^3(x^2 + 8x + 12) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1) $x^3 = 0 \implies x_1 = 0$

2) $x^2 + 8x + 12 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -8, а произведение равно 12. Это числа -2 и -6.

$x_2 = -2$, $x_3 = -6$.

Решение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-8 \pm 4}{2}$

$x_2 = \frac{-8 - 4}{2} = -6$

$x_3 = \frac{-8 + 4}{2} = -2$

Корни уравнения отсортированы в порядке возрастания.

Ответ: $-6; -2; 0$.

г) $x^3 + x^2 - 9x - 9 = 0$

Применим метод группировки:

$(x^3 + x^2) + (-9x - 9) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x + 1) - 9(x + 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(x + 1)$ за скобки:

$(x + 1)(x^2 - 9) = 0$

Разложим $x^2 - 9$ по формуле разности квадратов:

$(x + 1)(x - 3)(x + 3) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

$x + 1 = 0 \implies x_1 = -1$

$x - 3 = 0 \implies x_2 = 3$

$x + 3 = 0 \implies x_3 = -3$

Корни уравнения отсортированы в порядке возрастания.

Ответ: $-3; -1; 3$.