Номер 27.7, страница 168, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 27. Общие методы решения уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 27.7, страница 168.

27.7. a) $\sin \left( 3x + \frac{\pi}{3} \right) = \sin \left( x - \frac{\pi}{6} \right);$

б) $\tan \left( \frac{\pi}{8} - x \right) = \tan \left( \frac{\pi}{6} + 2x \right);$

в) $\cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right) = \cos \left( 2x + \frac{\pi}{4} \right);$

г) $\cot 2x = \cot 3x.$

a)

Данное уравнение имеет вид $\sin A = \sin B$. Такое равенство выполняется, когда аргументы либо равны, либо в сумме дают $\pi$, с точностью до полного оборота. Это равносильно совокупности двух уравнений:

$A = B + 2\pi k$ или $A = \pi - B + 2\pi k$, где $k \in Z$.

В нашем случае $A = 3x + \frac{\pi}{3}$ и $B = x - \frac{\pi}{6}$.

1. Рассмотрим первый случай:

$3x + \frac{\pi}{3} = x - \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$3x - x = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2\pi k$

$2x = -\frac{\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} + 2\pi k$

$2x = -\frac{3\pi}{6} + 2\pi k$

$2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$

$x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in Z$.

2. Рассмотрим второй случай:

$3x + \frac{\pi}{3} = \pi - \left(x - \frac{\pi}{6}\right) + 2\pi k$

$3x + \frac{\pi}{3} = \pi - x + \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$3x + x = \pi + \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2\pi k$

$4x = \frac{6\pi + \pi - 2\pi}{6} + 2\pi k$

$4x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$

$x = \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}, k \in Z$.

Ответ: $-\frac{\pi}{4} + \pi k; \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}, k \in Z$.

б)

Уравнение вида $\operatorname{tg} A = \operatorname{tg} B$ равносильно уравнению $A = B + \pi k$, где $k \in Z$, при условии, что оба тангенса существуют.

В данном уравнении $A = \frac{\pi}{8} - x$ и $B = \frac{\pi}{6} + 2x$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями:

$\frac{\pi}{8} - x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z$

$\frac{\pi}{6} + 2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m, m \in Z$

Решаем уравнение:

$\frac{\pi}{8} - x = \frac{\pi}{6} + 2x + \pi k$

$-3x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{8} + \pi k$

$-3x = \frac{4\pi - 3\pi}{24} + \pi k$

$-3x = \frac{\pi}{24} + \pi k$

$x = -\frac{\pi}{72} - \frac{\pi k}{3}, k \in Z$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные решения ОДЗ. Аргументы тангенсов при найденных значениях $x$ не могут быть равны $\frac{\pi}{2} + \pi n$, так как это привело бы к равенству вида $12k' - 36n' = 13$, где левая часть делится на 12, а правая — нет, что невозможно для целых чисел. Следовательно, все найденные корни входят в ОДЗ.

Ответ: $-\frac{\pi}{72} - \frac{\pi k}{3}, k \in Z$.

в)

Уравнение имеет вид $\cos A = \cos B$. Такое равенство выполняется, когда аргументы либо равны, либо противоположны, с точностью до полного оборота. Это равносильно совокупности двух уравнений:

$A = B + 2\pi k$ или $A = -B + 2\pi k$, где $k \in Z$.

В нашем случае $A = x - \frac{\pi}{4}$ и $B = 2x + \frac{\pi}{4}$.

1. Рассмотрим первый случай:

$x - \frac{\pi}{4} = 2x + \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

$-x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

$x = -\frac{\pi}{2} - 2\pi k$. Поскольку $-k$ также является любым целым числом, можно записать $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in Z$.

2. Рассмотрим второй случай:

$x - \frac{\pi}{4} = -(2x + \frac{\pi}{4}) + 2\pi k$

$x - \frac{\pi}{4} = -2x - \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

$3x = 2\pi k$

$x = \frac{2\pi k}{3}, k \in Z$.

Ответ: $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{2\pi k}{3}, k \in Z$.

г)

Уравнение вида $\operatorname{ctg} A = \operatorname{ctg} B$ равносильно уравнению $A = B + \pi k$, где $k \in Z$, при условии, что оба котангенса существуют.

В данном уравнении $A = 2x$ и $B = 3x$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, при которых аргументы котангенса не равны $\pi n$:

$2x \neq \pi n \implies x \neq \frac{\pi n}{2}, n \in Z$

$3x \neq \pi m \implies x \neq \frac{\pi m}{3}, m \in Z$

Решаем уравнение:

$2x = 3x + \pi k$

$-x = \pi k$

$x = -\pi k, k \in Z$.

Проверим, входят ли найденные решения в ОДЗ. Серия решений $x = -\pi k$ представляет собой все значения $x$, кратные $\pi$.

Сравним эти решения с первым условием ОДЗ: $x \neq \frac{\pi n}{2}$.

Для любого целого $k$, значение $x = -\pi k$ нарушает это условие. Например, если взять $n = -2k$, то $\frac{\pi n}{2} = \frac{\pi(-2k)}{2} = -\pi k$. Это означает, что все найденные нами "кандидаты" в решения $x = -\pi k$ исключаются областью допустимых значений.

Например, при $k=1$, $x=-\pi$. Тогда $2x=-2\pi$, а $\operatorname{ctg}(-2\pi)$ не определен. При $k=0$, $x=0$, тогда $2x=0$, а $\operatorname{ctg}(0)$ не определен.

Так как ни одно из значений серии $x = -\pi k$ не принадлежит ОДЗ, уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.