Страница 168, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Решите уравнение:

27.3. a) $2^{\sqrt{x-3}} = \frac{1}{2}\sqrt{32}$;

б) $10^{\log_2 (x-3)} \cdot 0,00001 = 0,1^{\log_2 (x-7)}$.

а) $2\sqrt{x-3} = \frac{1}{2}\sqrt{32}$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x - 3 \ge 0$

$x \ge 3$

2. Упростим правую часть уравнения:

$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$

Тогда $\frac{1}{2}\sqrt{32} = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.

3. Подставим упрощенное значение в исходное уравнение:

$2\sqrt{x-3} = 2\sqrt{2}$

4. Разделим обе части уравнения на 2:

$\sqrt{x-3} = \sqrt{2}$

5. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:

$(\sqrt{x-3})^2 = (\sqrt{2})^2$

$x-3 = 2$

$x = 5$

6. Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ ($x \ge 3$):

$5 \ge 3$. Корень подходит.

Ответ: $5$.

б) $10^{\log_2(x-3)} \cdot 0.00001 = 0.1^{\log_2(x-7)}$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком логарифма должны быть строго положительными:

$\begin{cases} x-3 > 0 \\ x-7 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 3 \\ x > 7 \end{cases}$

Следовательно, ОДЗ: $x > 7$.

2. Представим числовые коэффициенты в виде степеней числа 10:

$0.00001 = 10^{-5}$

$0.1 = 10^{-1}$

3. Подставим эти значения в уравнение:

$10^{\log_2(x-3)} \cdot 10^{-5} = (10^{-1})^{\log_2(x-7)}$

4. Применим свойства степеней ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $(a^m)^n = a^{mn}$):

$10^{\log_2(x-3) - 5} = 10^{-\log_2(x-7)}$

5. Так как основания степеней равны, можем приравнять их показатели:

$\log_2(x-3) - 5 = -\log_2(x-7)$

6. Перенесем логарифмы в одну часть уравнения, а число — в другую:

$\log_2(x-3) + \log_2(x-7) = 5$

7. Используем свойство логарифмов ($\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$):

$\log_2((x-3)(x-7)) = 5$

8. По определению логарифма ($\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$):

$(x-3)(x-7) = 2^5$

$(x-3)(x-7) = 32$

9. Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:

$x^2 - 7x - 3x + 21 = 32$

$x^2 - 10x + 21 - 32 = 0$

$x^2 - 10x - 11 = 0$

По теореме Виета находим корни:

$x_1 + x_2 = 10$

$x_1 \cdot x_2 = -11$

$x_1 = 11$, $x_2 = -1$.

10. Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > 7$):

$x_1 = 11$: $11 > 7$. Корень подходит.

$x_2 = -1$: $-1 > 7$ (неверно). Это посторонний корень.

Ответ: $11$.

○27.4.

a) $0,5^{\sin x - \cos x} = 1$;

б) $(\sqrt{3})^{\sin^2 x - 1} \cdot 3\sqrt{3} = \sqrt[4]{729}$.

а) $0,5^{\sin x - \cos x} = 1$

Представим обе части уравнения в виде степени с одинаковым основанием. В данном случае удобно использовать основание 0,5, так как любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1.

$0,5^{\sin x - \cos x} = 0,5^0$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$\sin x - \cos x = 0$

Перенесем $\cos x$ в правую часть:

$\sin x = \cos x$

Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Разделим обе части уравнения на $\cos x$. Это можно делать, если $\cos x \neq 0$. Если предположить, что $\cos x = 0$, то из уравнения $\sin x = \cos x$ следует, что и $\sin x = 0$. Однако, одновременное равенство синуса и косинуса нулю невозможно, так как нарушается основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ ($0^2 + 0^2 \neq 1$). Следовательно, $\cos x \neq 0$, и деление является корректным.

$\frac{\sin x}{\cos x} = 1$

$\tan x = 1$

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является серия корней:

$x = \arctan(1) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $(\sqrt{3})^{\sin^2 x - 1} \cdot 3\sqrt{3} = \sqrt[4]{729}$

Для решения этого показательного уравнения приведем все его части к одному основанию, в данном случае к основанию 3.

Преобразуем каждый множитель и правую часть:

$\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$

$3\sqrt{3} = 3^1 \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3^{1 + \frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}}$

$729 = 9^3 = (3^2)^3 = 3^6$

$\sqrt[4]{729} = \sqrt[4]{3^6} = 3^{\frac{6}{4}} = 3^{\frac{3}{2}}$

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$(3^{\frac{1}{2}})^{\sin^2 x - 1} \cdot 3^{\frac{3}{2}} = 3^{\frac{3}{2}}$

Применим свойства степеней: $(a^m)^n = a^{mn}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$3^{\frac{1}{2}(\sin^2 x - 1)} \cdot 3^{\frac{3}{2}} = 3^{\frac{3}{2}}$

$3^{\frac{1}{2}\sin^2 x - \frac{1}{2} + \frac{3}{2}} = 3^{\frac{3}{2}}$

$3^{\frac{1}{2}\sin^2 x + 1} = 3^{\frac{3}{2}}$

Теперь, когда основания степеней равны, приравняем их показатели:

$\frac{1}{2}\sin^2 x + 1 = \frac{3}{2}$

$\frac{1}{2}\sin^2 x = \frac{3}{2} - 1$

$\frac{1}{2}\sin^2 x = \frac{1}{2}$

$\sin^2 x = 1$

Это уравнение распадается на два:

1) $\sin x = 1$, откуда $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin x = -1$, откуда $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Эти две серии решений можно объединить в одну. На тригонометрической окружности это верхняя и нижняя точки, расстояние между которыми равно $\pi$.

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

27.5. а) $log_3 (x^2 - 10x + 40) = log_3 (4x - 8);$

б) $log_{0.8} (9x - 4x^2) = log_{0.8} (x^3 + 4x^2);$

в) $log_{\sqrt{3}} \frac{x - 2}{2x - 4} = log_{\sqrt{3}} \frac{x + 1}{x + 2};$

г) $log_{0.1} \sqrt{5x - 6} = log_{0.1} \sqrt{x^2 - 2}.$

а) $log_3(x^2 - 10x + 40) = log_3(4x - 8)$

Это уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 10x + 40 = 4x - 8 \\ 4x - 8 > 0 \end{cases}$

Решим второе неравенство (область допустимых значений):

$4x > 8$

$x > 2$

Теперь решим первое уравнение:

$x^2 - 10x + 40 - 4x + 8 = 0$

$x^2 - 14x + 48 = 0$

По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 14$

$x_1 \cdot x_2 = 48$

Отсюда находим корни: $x_1 = 6$ и $x_2 = 8$.

Оба корня удовлетворяют условию $x > 2$.

Ответ: 6; 8.

б) $log_{0,8}(9x - 4x^2) = log_{0,8}(x^3 + 4x^2)$

Уравнение равносильно системе, включающей равенство подлогарифмических выражений и условия их положительности (ОДЗ):

$\begin{cases} 9x - 4x^2 = x^3 + 4x^2 \\ 9x - 4x^2 > 0 \\ x^3 + 4x^2 > 0 \end{cases}$

Решим неравенства ОДЗ:

1) $9x - 4x^2 > 0 \implies x(9 - 4x) > 0$. Корни $x=0$ и $x=9/4=2.25$. Ветви параболы направлены вниз, значит решение: $x \in (0; 2.25)$.

2) $x^3 + 4x^2 > 0 \implies x^2(x + 4) > 0$. Так как $x^2 \ge 0$, то неравенство выполняется при $x+4 > 0$ и $x \ne 0$, то есть $x > -4$ и $x \ne 0$.

Пересечение ОДЗ: $x \in (0; 2.25)$.

Теперь решим уравнение:

$x^3 + 4x^2 - 9x + 4x^2 = 0$

$x^3 + 8x^2 - 9x = 0$

$x(x^2 + 8x - 9) = 0$

Получаем корни: $x_1 = 0$ или $x^2 + 8x - 9 = 0$.

Для квадратного уравнения по теореме Виета: $x_2 = 1$, $x_3 = -9$.

Проверим корни по ОДЗ $x \in (0; 2.25)$:

$x_1 = 0$ - не входит в интервал.

$x_2 = 1$ - входит в интервал.

$x_3 = -9$ - не входит в интервал.

Следовательно, подходит только один корень.

Ответ: 1.

в) $log_{\sqrt{3}} \frac{x-2}{2x-4} = log_{\sqrt{3}} \frac{x+1}{x+2}$

Заметим, что подлогарифмическое выражение слева можно упростить:

$\frac{x-2}{2x-4} = \frac{x-2}{2(x-2)} = \frac{1}{2}$ при условии, что $x-2 \ne 0$, то есть $x \ne 2$.

Тогда уравнение принимает вид: $log_{\sqrt{3}} \frac{1}{2} = log_{\sqrt{3}} \frac{x+1}{x+2}$

Это уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} \frac{1}{2} = \frac{x+1}{x+2} \\ x \ne 2 \\ \frac{x+1}{x+2} > 0 \end{cases}$

Решим уравнение:

$1 \cdot (x+2) = 2 \cdot (x+1)$

$x+2 = 2x+2$

$x = 0$

Проверим найденный корень. Он удовлетворяет условию $x \ne 2$. Проверим условие положительности дроби:

При $x=0$, $\frac{0+1}{0+2} = \frac{1}{2} > 0$. Условие выполняется.

Ответ: 0.

г) $log_{0,1} \sqrt{5x-6} = log_{0,1} \sqrt{x^2-2}$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} \sqrt{5x-6} = \sqrt{x^2-2} \\ 5x-6 > 0 \\ x^2-2 > 0 \end{cases}$

Решим неравенства ОДЗ:

1) $5x - 6 > 0 \implies 5x > 6 \implies x > 1.2$

2) $x^2 - 2 > 0 \implies x^2 > 2 \implies x \in (-\infty; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; +\infty)$

Учитывая, что $\sqrt{2} \approx 1.414$, пересечением ОДЗ будет интервал $x > \sqrt{2}$.

Теперь решим уравнение. Возведем обе части в квадрат:

$5x-6 = x^2-2$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

По теореме Виета находим корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 4$.

Проверим корни по ОДЗ $x > \sqrt{2}$:

$x_1 = 1$ - не удовлетворяет условию, так как $1 < \sqrt{2}$.

$x_2 = 4$ - удовлетворяет условию, так как $4 > \sqrt{2}$.

Следовательно, решением является только один корень.

Ответ: 4.

27.6. a) $(x^2 - 6x)^5 = (2x - 7)^5;$

б) $(\sqrt{6x - 1} + 1)^9 = (\sqrt{6x} + 8)^9;$

в) $(2^{2x} + 16)^{20} = (10 \cdot 2^x)^{20};$

г) $(\log_{0,1}^2 x - 2)^3 = (2 \log_{0,1} x + 1)^3.$

а) Дано уравнение $(x^2 - 6x)^5 = (2x - 7)^5$.

Поскольку обе части уравнения возведены в нечетную степень (5), равенство степеней равносильно равенству их оснований. Таким образом, мы можем записать:

$x^2 - 6x = 2x - 7$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 6x - 2x + 7 = 0$

$x^2 - 8x + 7 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно 7. Отсюда находим корни:

$x_1 = 1$, $x_2 = 7$

Можно также найти корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 - 28 = 36 = 6^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm 6}{2}$

$x_1 = \frac{8 + 6}{2} = 7$

$x_2 = \frac{8 - 6}{2} = 1$

Оба значения являются корнями уравнения.

Ответ: $1; 7$.

б) Дано уравнение $(\sqrt{6x - 1} + 1)^9 = (\sqrt{6x + 8})^9$.

Так как показатель степени (9) — нечетное число, мы можем приравнять основания степеней:

$\sqrt{6x - 1} + 1 = \sqrt{6x + 8}$

Прежде чем решать, найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнем должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} 6x - 1 \ge 0 \\ 6x + 8 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 6x \ge 1 \\ 6x \ge -8 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge \frac{1}{6} \\ x \ge -\frac{4}{3} \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x \ge \frac{1}{6}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{6x - 1} + 1)^2 = (\sqrt{6x + 8})^2$

$(6x - 1) + 2\sqrt{6x - 1} + 1 = 6x + 8$

$6x + 2\sqrt{6x - 1} = 6x + 8$

Вычтем $6x$ из обеих частей:

$2\sqrt{6x - 1} = 8$

$\sqrt{6x - 1} = 4$

Снова возведем в квадрат:

$6x - 1 = 16$

$6x = 17$

$x = \frac{17}{6}$

Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ: $\frac{17}{6} \ge \frac{1}{6}$. Условие выполняется.

Ответ: $\frac{17}{6}$.

в) Дано уравнение $(2^{2x} + 16)^{20} = (10 \cdot 2^x)^{20}$.

Поскольку обе части уравнения возведены в четную степень (20), равенство степеней равносильно тому, что их основания равны по модулю. Это означает, что основания либо равны, либо противоположны по знаку:

$2^{2x} + 16 = 10 \cdot 2^x$ или $2^{2x} + 16 = -10 \cdot 2^x$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как $2^x > 0$ для любого $x$, то $t > 0$. Заметим, что $2^{2x} = (2^x)^2 = t^2$.

Рассмотрим первый случай:

$t^2 + 16 = 10t$

$t^2 - 10t + 16 = 0$

По теореме Виета, $t_1 = 2$, $t_2 = 8$. Оба корня положительны, поэтому подходят.

Вернемся к исходной переменной:

1) $2^x = 2 \implies 2^x = 2^1 \implies x = 1$

2) $2^x = 8 \implies 2^x = 2^3 \implies x = 3$

Рассмотрим второй случай:

$t^2 + 16 = -10t$

$t^2 + 10t + 16 = 0$

По теореме Виета, $t_3 = -2$, $t_4 = -8$. Оба корня отрицательны, что противоречит условию $t > 0$. Следовательно, во втором случае решений нет.

Ответ: $1; 3$.

г) Дано уравнение $(\log_{0.1}^2 x - 2)^3 = (2 \log_{0.1} x + 1)^3$.

Показатель степени (3) — нечетное число, поэтому мы можем приравнять основания:

$\log_{0.1}^2 x - 2 = 2 \log_{0.1} x + 1$

ОДЗ для логарифма: $x > 0$.

Сделаем замену. Пусть $y = \log_{0.1} x$. Уравнение примет вид:

$y^2 - 2 = 2y + 1$

$y^2 - 2y - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета:

$y_1 = 3$, $y_2 = -1$

Выполним обратную замену:

1) $\log_{0.1} x = 3 \implies x = (0.1)^3 = 0.001$

2) $\log_{0.1} x = -1 \implies x = (0.1)^{-1} = 10$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $0.001; 10$.

27.7. a) $\sin \left( 3x + \frac{\pi}{3} \right) = \sin \left( x - \frac{\pi}{6} \right);$

б) $\tan \left( \frac{\pi}{8} - x \right) = \tan \left( \frac{\pi}{6} + 2x \right);$

в) $\cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right) = \cos \left( 2x + \frac{\pi}{4} \right);$

г) $\cot 2x = \cot 3x.$

a)

Данное уравнение имеет вид $\sin A = \sin B$. Такое равенство выполняется, когда аргументы либо равны, либо в сумме дают $\pi$, с точностью до полного оборота. Это равносильно совокупности двух уравнений:

$A = B + 2\pi k$ или $A = \pi - B + 2\pi k$, где $k \in Z$.

В нашем случае $A = 3x + \frac{\pi}{3}$ и $B = x - \frac{\pi}{6}$.

1. Рассмотрим первый случай:

$3x + \frac{\pi}{3} = x - \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$3x - x = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2\pi k$

$2x = -\frac{\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} + 2\pi k$

$2x = -\frac{3\pi}{6} + 2\pi k$

$2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$

$x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in Z$.

2. Рассмотрим второй случай:

$3x + \frac{\pi}{3} = \pi - \left(x - \frac{\pi}{6}\right) + 2\pi k$

$3x + \frac{\pi}{3} = \pi - x + \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$3x + x = \pi + \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2\pi k$

$4x = \frac{6\pi + \pi - 2\pi}{6} + 2\pi k$

$4x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$

$x = \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}, k \in Z$.

Ответ: $-\frac{\pi}{4} + \pi k; \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}, k \in Z$.

б)

Уравнение вида $\operatorname{tg} A = \operatorname{tg} B$ равносильно уравнению $A = B + \pi k$, где $k \in Z$, при условии, что оба тангенса существуют.

В данном уравнении $A = \frac{\pi}{8} - x$ и $B = \frac{\pi}{6} + 2x$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями:

$\frac{\pi}{8} - x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z$

$\frac{\pi}{6} + 2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m, m \in Z$

Решаем уравнение:

$\frac{\pi}{8} - x = \frac{\pi}{6} + 2x + \pi k$

$-3x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{8} + \pi k$

$-3x = \frac{4\pi - 3\pi}{24} + \pi k$

$-3x = \frac{\pi}{24} + \pi k$

$x = -\frac{\pi}{72} - \frac{\pi k}{3}, k \in Z$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные решения ОДЗ. Аргументы тангенсов при найденных значениях $x$ не могут быть равны $\frac{\pi}{2} + \pi n$, так как это привело бы к равенству вида $12k' - 36n' = 13$, где левая часть делится на 12, а правая — нет, что невозможно для целых чисел. Следовательно, все найденные корни входят в ОДЗ.

Ответ: $-\frac{\pi}{72} - \frac{\pi k}{3}, k \in Z$.

в)

Уравнение имеет вид $\cos A = \cos B$. Такое равенство выполняется, когда аргументы либо равны, либо противоположны, с точностью до полного оборота. Это равносильно совокупности двух уравнений:

$A = B + 2\pi k$ или $A = -B + 2\pi k$, где $k \in Z$.

В нашем случае $A = x - \frac{\pi}{4}$ и $B = 2x + \frac{\pi}{4}$.

1. Рассмотрим первый случай:

$x - \frac{\pi}{4} = 2x + \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

$-x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

$x = -\frac{\pi}{2} - 2\pi k$. Поскольку $-k$ также является любым целым числом, можно записать $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in Z$.

2. Рассмотрим второй случай:

$x - \frac{\pi}{4} = -(2x + \frac{\pi}{4}) + 2\pi k$

$x - \frac{\pi}{4} = -2x - \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

$3x = 2\pi k$

$x = \frac{2\pi k}{3}, k \in Z$.

Ответ: $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{2\pi k}{3}, k \in Z$.

г)

Уравнение вида $\operatorname{ctg} A = \operatorname{ctg} B$ равносильно уравнению $A = B + \pi k$, где $k \in Z$, при условии, что оба котангенса существуют.

В данном уравнении $A = 2x$ и $B = 3x$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, при которых аргументы котангенса не равны $\pi n$:

$2x \neq \pi n \implies x \neq \frac{\pi n}{2}, n \in Z$

$3x \neq \pi m \implies x \neq \frac{\pi m}{3}, m \in Z$

Решаем уравнение:

$2x = 3x + \pi k$

$-x = \pi k$

$x = -\pi k, k \in Z$.

Проверим, входят ли найденные решения в ОДЗ. Серия решений $x = -\pi k$ представляет собой все значения $x$, кратные $\pi$.

Сравним эти решения с первым условием ОДЗ: $x \neq \frac{\pi n}{2}$.

Для любого целого $k$, значение $x = -\pi k$ нарушает это условие. Например, если взять $n = -2k$, то $\frac{\pi n}{2} = \frac{\pi(-2k)}{2} = -\pi k$. Это означает, что все найденные нами "кандидаты" в решения $x = -\pi k$ исключаются областью допустимых значений.

Например, при $k=1$, $x=-\pi$. Тогда $2x=-2\pi$, а $\operatorname{ctg}(-2\pi)$ не определен. При $k=0$, $x=0$, тогда $2x=0$, а $\operatorname{ctg}(0)$ не определен.

Так как ни одно из значений серии $x = -\pi k$ не принадлежит ОДЗ, уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

27.8. а) $2^{x^2+3} - 8^{x+1} = 0;$

б) $27^{5-x^2} - 3^{x^2-1} = 0.$

а) $2^{x^2+3} - 8^{x+1} = 0$

Для решения данного показательного уравнения необходимо привести обе его части к одному основанию.
Сначала перенесем второе слагаемое в правую часть уравнения:
$2^{x^2+3} = 8^{x+1}$
Заметим, что $8 = 2^3$. Подставим это в правую часть уравнения:
$2^{x^2+3} = (2^3)^{x+1}$
Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$2^{x^2+3} = 2^{3(x+1)}$
$2^{x^2+3} = 2^{3x+3}$
Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$x^2+3 = 3x+3$
Теперь решим полученное квадратное уравнение. Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 - 3x + 3 - 3 = 0$
$x^2 - 3x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x - 3) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
$x_1 = 0$ или $x - 3 = 0$, откуда $x_2 = 3$.
Ответ: $0; 3$.

б) $27^{5-x^2} - 3^{x^2-1} = 0$

Аналогично первому пункту, приведем обе части уравнения к одному основанию. В данном случае это будет основание 3.
Перенесем второе слагаемое в правую часть:
$27^{5-x^2} = 3^{x^2-1}$
Так как $27 = 3^3$, подставим это в левую часть уравнения:
$(3^3)^{5-x^2} = 3^{x^2-1}$
Применим свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$3^{3(5-x^2)} = 3^{x^2-1}$
$3^{15-3x^2} = 3^{x^2-1}$
Поскольку основания степеней одинаковы, приравниваем их показатели:
$15 - 3x^2 = x^2 - 1$
Решим полученное квадратное уравнение. Сгруппируем члены с переменной в одной части, а константы — в другой:
$15 + 1 = x^2 + 3x^2$
$16 = 4x^2$
Разделим обе части на 4:
$x^2 = 4$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{4}$
$x_1 = 2$, $x_2 = -2$.
Ответ: $-2; 2$.

27.9. a) $2^{\log_8 x - \log_8 x^2 + 2,5} = (2\sqrt{2} + 1)^2 - 9;$

б) $3^{\cos x} \cdot 3\sqrt{3} = \frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}.$

а) $2^{\log_8 x - \log_8 x^2 + 2,5} = (2\sqrt{2} + 1)^2 - 9$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$x > 0$ и $x^2 > 0$.
Второе условие выполняется для всех $x \neq 0$. Совмещая условия, получаем ОДЗ: $x > 0$.

2. Упростим правую часть уравнения, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(2\sqrt{2} + 1)^2 - 9 = ((2\sqrt{2})^2 + 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot 1 + 1^2) - 9 = (8 + 4\sqrt{2} + 1) - 9 = 9 + 4\sqrt{2} - 9 = 4\sqrt{2}$.
Представим $4\sqrt{2}$ в виде степени с основанием 2:
$4\sqrt{2} = 2^2 \cdot 2^{1/2} = 2^{2 + 0,5} = 2^{2,5}$.

3. Упростим показатель степени в левой части уравнения, используя свойства логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a (b/c)$ и $\log_a (b^p) = p \log_a b$ (для $b>0$):
$\log_8 x - \log_8 x^2 + 2,5 = \log_8 x - 2\log_8 x + 2,5 = -\log_8 x + 2,5$.

4. Подставим упрощенные выражения обратно в исходное уравнение:
$2^{-\log_8 x + 2,5} = 2^{2,5}$.

5. Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$-\log_8 x + 2,5 = 2,5$
$-\log_8 x = 0$
$\log_8 x = 0$
$x = 8^0$
$x = 1$.

6. Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ ($x > 0$).
$1 > 0$, следовательно, корень подходит.

Ответ: 1

б) $3^{\cos x} \cdot 3\sqrt{3} = \frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}$

1. Упростим обе части уравнения, представив их в виде степеней с основанием 3.

2. Упростим левую часть, используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$3\sqrt{3} = 3^1 \cdot 3^{1/2} = 3^{1 + 0,5} = 3^{1,5}$.
Тогда левая часть примет вид:
$3^{\cos x} \cdot 3^{1,5} = 3^{\cos x + 1,5}$.

3. Упростим правую часть, используя свойство корней $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$:
$\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{27}{3}} = \sqrt{9} = 3 = 3^1$.

4. Подставим упрощенные выражения в уравнение:
$3^{\cos x + 1,5} = 3^1$.

5. Так как основания степеней равны, приравняем их показатели:
$\cos x + 1,5 = 1$
$\cos x = 1 - 1,5$
$\cos x = -0,5$.

6. Найдем решение простейшего тригонометрического уравнения:
$x = \pm \arccos(-0,5) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

27.10. a) $(\sqrt{3})^{\text{tg }x} = \frac{3\sqrt{3}}{3^{\text{tg }x}}$;

б) $(\sqrt{2})^{2\text{ cos }x} = \frac{1}{2 \cdot 2^{\text{cos }x}}$.

а)

Исходное уравнение:

$(\sqrt{3})^{\text{tg } x} = \frac{3\sqrt{3}}{3^{\text{tg } x}}$

Для решения этого показательного уравнения приведем обе его части к одному основанию, в данном случае к основанию 3. Для этого воспользуемся свойствами степеней: $\sqrt{a} = a^{1/2}$, $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

Преобразуем левую часть уравнения:

$(\sqrt{3})^{\text{tg } x} = (3^{1/2})^{\text{tg } x} = 3^{\frac{1}{2}\text{tg } x}$

Преобразуем правую часть уравнения:

$\frac{3\sqrt{3}}{3^{\text{tg } x}} = \frac{3^1 \cdot 3^{1/2}}{3^{\text{tg } x}} = \frac{3^{1+\frac{1}{2}}}{3^{\text{tg } x}} = \frac{3^{3/2}}{3^{\text{tg } x}} = 3^{\frac{3}{2} - \text{tg } x}$

Теперь уравнение принимает вид:

$3^{\frac{1}{2}\text{tg } x} = 3^{\frac{3}{2} - \text{tg } x}$

Так как основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$\frac{1}{2}\text{tg } x = \frac{3}{2} - \text{tg } x$

Умножим все члены уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:

$\text{tg } x = 3 - 2\text{tg } x$

Перенесем все слагаемые, содержащие $\text{tg } x$, в левую часть:

$\text{tg } x + 2\text{tg } x = 3$

$3\text{tg } x = 3$

$\text{tg } x = 1$

Теперь решим простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для $\text{tg } x = a$ имеет вид $x = \text{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \text{arctg}(1) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Данное решение входит в область определения тангенса ($x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$).

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Исходное уравнение:

$(\sqrt{2})^{2 \cos x} = \frac{1}{2 \cdot 2^{\cos x}}$

Приведем обе части уравнения к основанию 2, используя свойства степеней: $\sqrt{a} = a^{1/2}$, $(a^m)^n = a^{mn}$, $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $\frac{1}{a^k} = a^{-k}$.

Преобразуем левую часть:

$(\sqrt{2})^{2 \cos x} = (2^{1/2})^{2 \cos x} = 2^{\frac{1}{2} \cdot 2 \cos x} = 2^{\cos x}$

Преобразуем правую часть:

$\frac{1}{2 \cdot 2^{\cos x}} = \frac{1}{2^1 \cdot 2^{\cos x}} = \frac{1}{2^{1+\cos x}} = 2^{-(1+\cos x)} = 2^{-1-\cos x}$

Подставим преобразованные части обратно в уравнение:

$2^{\cos x} = 2^{-1-\cos x}$

Поскольку основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$\cos x = -1 - \cos x$

Перенесем все слагаемые с $\cos x$ в одну сторону:

$\cos x + \cos x = -1$

$2\cos x = -1$

$\cos x = -\frac{1}{2}$

Решим это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для $\cos x = a$ имеет вид $x = \pm \text{arccos}(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \pm \text{arccos}(-\frac{1}{2}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Поскольку $\text{arccos}(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$, получаем окончательное решение:

$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

27.11. a) $log_{\frac{2}{3}} (7x + 9) - log_{\frac{2}{3}} (8 - x) = 1;$

б) $log_{1,2} (3x - 1) + log_{1,2} (3x + 1) = log_{1,2} 8.$

а) $\log_{\frac{2}{3}}(7x + 9) - \log_{\frac{2}{3}}(8 - x) = 1$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$ \begin{cases} 7x + 9 > 0 \\ 8 - x > 0 \end{cases} $

$ \begin{cases} 7x > -9 \\ x < 8 \end{cases} $

$ \begin{cases} x > -\frac{9}{7} \\ x < 8 \end{cases} $

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\frac{9}{7}; 8)$.

2. Используем свойство разности логарифмов: $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$.

$\log_{\frac{2}{3}}\left(\frac{7x + 9}{8 - x}\right) = 1$

3. По определению логарифма, если $\log_a b = c$, то $a^c = b$. Применим это к нашему уравнению:

$\frac{7x + 9}{8 - x} = \left(\frac{2}{3}\right)^1$

$\frac{7x + 9}{8 - x} = \frac{2}{3}$

4. Решим полученное уравнение, используя основное свойство пропорции:

$3(7x + 9) = 2(8 - x)$

$21x + 27 = 16 - 2x$

$21x + 2x = 16 - 27$

$23x = -11$

$x = -\frac{11}{23}$

5. Проверим, принадлежит ли найденный корень ОДЗ $(-\frac{9}{7}; 8)$.

$-\frac{9}{7} \approx -1.28$ и $-\frac{11}{23} \approx -0.48$.

Так как $-1.28 < -0.48 < 8$, корень $x = -\frac{11}{23}$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = -\frac{11}{23}$

б) $\log_{1,2}(3x - 1) + \log_{1,2}(3x + 1) = \log_{1,2} 8$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$ \begin{cases} 3x - 1 > 0 \\ 3x + 1 > 0 \end{cases} $

$ \begin{cases} 3x > 1 \\ 3x > -1 \end{cases} $

$ \begin{cases} x > \frac{1}{3} \\ x > -\frac{1}{3} \end{cases} $

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > \frac{1}{3}$.

2. Используем свойство суммы логарифмов: $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$.

$\log_{1,2}((3x - 1)(3x + 1)) = \log_{1,2} 8$

Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$\log_{1,2}(9x^2 - 1) = \log_{1,2} 8$

3. Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы:

$9x^2 - 1 = 8$

$9x^2 = 9$

$x^2 = 1$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

4. Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x > \frac{1}{3}$).

Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию $1 > \frac{1}{3}$.

Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию $-1 > \frac{1}{3}$, следовательно, это посторонний корень.

Таким образом, решением уравнения является только $x=1$.

Ответ: $x = 1$