Страница 164, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

4. Какое из приведённых ниже утверждений верно, а какое нет:

а) если $y = F(x)$ — первообразная для функции $y = f(x)$, то $y = kF(kx + b)$ — первообразная для функции $y = f(kx + b);$

б) если $y = F(x)$ — первообразная для функции $y = f(x)$, то $y = \frac{1}{k}F(kx + b)$ — первообразная для функции $y = f(kx + b)?$

а) Чтобы проверить, является ли функция $Y(x) = kF(kx + b)$ первообразной для функции $y = f(kx + b)$, нужно найти производную функции $Y(x)$ и сравнить ее с $f(kx + b)$.
По определению первообразной, если $F(x)$ является первообразной для $f(x)$, то выполняется равенство $F'(x) = f(x)$.
Найдем производную от $Y(x) = kF(kx + b)$ используя правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.
$Y'(x) = (kF(kx + b))' = k \cdot (F(kx + b))'$
Применим цепное правило к выражению $F(kx + b)$:
$(F(kx + b))' = F'(kx + b) \cdot (kx + b)'$
Так как $F'(x) = f(x)$, то $F'(kx + b) = f(kx + b)$. Производная внутренней функции $(kx + b)' = k$.
Подставим все в исходное выражение для $Y'(x)$:
$Y'(x) = k \cdot (f(kx + b) \cdot k) = k^2 f(kx + b)$
Полученное выражение $k^2 f(kx + b)$ в общем случае не равно $f(kx + b)$ (равенство выполняется только при $k^2=1$, то есть $k=\pm1$, или при $f(kx+b)=0$). Следовательно, данное утверждение неверно.
Ответ: утверждение неверно.

б) Чтобы проверить, является ли функция $Y(x) = \frac{1}{k}F(kx + b)$ первообразной для функции $y = f(kx + b)$, также найдем ее производную.
$Y'(x) = \left(\frac{1}{k}F(kx + b)\right)' = \frac{1}{k} \cdot (F(kx + b))'$
Из пункта а) мы уже знаем, что производная сложной функции $F(kx + b)$ равна:
$(F(kx + b))' = f(kx + b) \cdot k$
Теперь подставим это в выражение для $Y'(x)$:
$Y'(x) = \frac{1}{k} \cdot (k \cdot f(kx + b)) = f(kx + b)$
Производная функции $Y(x) = \frac{1}{k}F(kx + b)$ равна $f(kx + b)$. Это означает, что $Y(x)$ действительно является первообразной для $f(kx + b)$.
Ответ: утверждение верно.

5. Напишите общий вид всех первообразных для функции $y = f(x)$, если известно, что $F(x)$ — одна из первообразных.

По определению, функция $F(x)$ называется первообразной для функции $f(x)$ на некотором промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x) = f(x)$.

В условии задачи дано, что $F(x)$ — одна из первообразных для функции $y=f(x)$. Это означает, что $F'(x) = f(x)$.

Предположим, что существует другая первообразная для $f(x)$, назовём её $G(x)$. По определению, для неё также должно выполняться равенство $G'(x) = f(x)$.

Теперь рассмотрим разность этих двух первообразных: $G(x) - F(x)$. Найдём производную этой разности, используя правило дифференцирования разности двух функций:

$(G(x) - F(x))' = G'(x) - F'(x)$

Поскольку мы знаем, что $G'(x) = f(x)$ и $F'(x) = f(x)$, мы можем подставить эти значения в полученное выражение:

$(G(x) - F(x))' = f(x) - f(x) = 0$

Из основного свойства первообразной (которое является следствием теоремы Лагранжа) известно, что если производная некоторой функции равна нулю на всём промежутке, то эта функция является константой на этом промежутке. Обозначим эту постоянную величину буквой $C$.

Таким образом, мы получаем, что $G(x) - F(x) = C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Из этого равенства можно выразить $G(x)$:

$G(x) = F(x) + C$

Это означает, что любая первообразная для функции $f(x)$ отличается от одной известной первообразной $F(x)$ на некоторую константу. Следовательно, выражение $F(x) + C$ описывает всё множество первообразных для функции $f(x)$.

Ответ: Общий вид всех первообразных для функции $y=f(x)$ есть $F(x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

6. Что такое неопределённый интеграл от функции $y = f(x)$?

Неопределённый интеграл от функции $y = f(x)$ — это выражение, которое описывает совокупность всех её первообразных. Для полного понимания этого определения необходимо сначала рассмотреть понятие первообразной.

Функция $F(x)$ называется первообразной для функции $f(x)$ на некотором промежутке, если для любой точки $x$ из этого промежутка производная функции $F(x)$ равна $f(x)$. Математически это записывается так:

$F'(x) = f(x)$

Например, для функции $f(x) = 2x$ одной из первообразных будет функция $F(x) = x^2$, так как $(x^2)' = 2x$.

Однако, если мы возьмём производную от функции $F(x) = x^2 + 5$, мы получим тот же результат: $(x^2 + 5)' = 2x + 0 = 2x$. То же самое верно для любой постоянной $C$. Если $F(x)$ — первообразная для $f(x)$, то и любая функция вида $F(x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная (константа), также является первообразной для $f(x)$, поскольку производная константы равна нулю:

$(F(x) + C)' = F'(x) + C' = f(x) + 0 = f(x)$

Таким образом, у функции существует бесконечное множество первообразных, которые отличаются друг от друга на произвольную постоянную. Совокупность всех этих первообразных и называется неопределённым интегралом и обозначается следующим образом:

$\int f(x) \,dx = F(x) + C$

В этой записи:

• $\int$ — это знак интеграла.
• $f(x)$ — подынтегральная функция (функция, от которой мы находим интеграл).
• $dx$ — дифференциал переменной интегрирования, который указывает, по какой переменной производится интегрирование.
• $F(x)$ — одна из первообразных для $f(x)$.
• $C$ — произвольная постоянная, называемая постоянной интегрирования.

Операция нахождения неопределённого интеграла называется интегрированием. Эта операция является обратной по отношению к дифференцированию (нахождению производной).

Геометрический смысл: неопределённый интеграл $\int f(x) \,dx$ представляет собой семейство кривых $y = F(x) + C$. Все эти кривые получаются из одной (графика $y = F(x)$) сдвигом вдоль оси ординат $Oy$. Угловой коэффициент касательной, проведённой к любой из этих кривых в точке с абсциссой $x_0$, равен значению подынтегральной функции в этой точке, то есть $f(x_0)$.

Ответ: Неопределённый интеграл от функции $f(x)$ — это совокупность всех её первообразных, которая имеет вид $F(x) + C$, где $F(x)$ — любая из первообразных (то есть функция, для которой $F'(x) = f(x)$), а $C$ — произвольная постоянная. Записывается это как $\int f(x) \,dx = F(x) + C$.

25.18. (Продолжение задачи 25.12.) Какова вероятность того, что из 10 000 участников в следующий этап пройдут:

a) от 500 до 1000 человек;

б) не более 970 человек;

в) от 800 до 1200 человек;

г) не менее 2000 человек?

Данная задача является задачей на повторение независимых испытаний (схема Бернулли). Пусть $X$ — случайная величина, равная числу участников, прошедших в следующий этап. Общее число участников (испытаний) $n = 10000$.

Поскольку задача является продолжением задачи 25.12, необходимо использовать данные из нее. Судя по вопросам, где фигурируют числа, близкие к 1000, можно предположить, что математическое ожидание числа прошедших участников равно 1000. Отсюда можно найти вероятность $p$ того, что один участник пройдет в следующий этап: $E[X] = np = 10000 \cdot p = 1000 \implies p = 0.1$.

Таким образом, мы имеем дело с биномиальным распределением с параметрами $n=10000$ и $p=0.1$. Так как $n$ велико, а $p$ не слишком близко к 0 или 1 ($np=1000 > 5$ и $nq=10000 \cdot 0.9 = 9000 > 5$), для нахождения вероятностей можно использовать интегральную теорему Муавра-Лапласа.

Математическое ожидание: $\mu = np = 1000$.
Среднеквадратическое отклонение: $\sigma = \sqrt{npq} = \sqrt{10000 \cdot 0.1 \cdot 0.9} = \sqrt{900} = 30$.

Вероятность того, что число успехов $X$ окажется в промежутке от $k_1$ до $k_2$, вычисляется по формуле:
$P(k_1 \le X \le k_2) \approx \Phi(x_2) - \Phi(x_1)$,
где $\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_0^x e^{-t^2/2} dt$ — функция Лапласа, а $x_1 = \frac{k_1 - np}{\sqrt{npq}}$ и $x_2 = \frac{k_2 - np}{\sqrt{npq}}$.

а) от 500 до 1000 человек;
Требуется найти $P(500 \le X \le 1000)$.
Вычисляем значения $x_1$ и $x_2$:
$x_1 = \frac{500 - 1000}{30} = \frac{-500}{30} \approx -16.67$
$x_2 = \frac{1000 - 1000}{30} = 0$
Тогда вероятность равна:
$P(500 \le X \le 1000) \approx \Phi(0) - \Phi(-16.67)$.
Используя свойство нечетности функции Лапласа $\Phi(-x) = -\Phi(x)$, получаем:
$P(500 \le X \le 1000) \approx \Phi(0) - (-\Phi(16.67)) = \Phi(0) + \Phi(16.67)$.
Из таблиц значений функции Лапласа: $\Phi(0) = 0$. Для $x > 5$, $\Phi(x) \approx 0.5$.
$P(500 \le X \le 1000) \approx 0 + 0.5 = 0.5$.
Ответ: 0.5.

б) не более 970 человек;
Требуется найти $P(X \le 970)$, что соответствует $P(0 \le X \le 970)$.
Вычисляем значения $x_1$ и $x_2$:
$x_1 = \frac{0 - 1000}{30} = \frac{-1000}{30} \approx -33.33$
$x_2 = \frac{970 - 1000}{30} = \frac{-30}{30} = -1$
Тогда вероятность равна:
$P(0 \le X \le 970) \approx \Phi(-1) - \Phi(-33.33) = -\Phi(1) + \Phi(33.33)$.
Из таблиц значений функции Лапласа: $\Phi(1) \approx 0.3413$, а $\Phi(33.33) \approx 0.5$.
$P(0 \le X \le 970) \approx -0.3413 + 0.5 = 0.1587$.
Ответ: 0.1587.

в) от 800 до 1200 человек;
Требуется найти $P(800 \le X \le 1200)$.
Вычисляем значения $x_1$ и $x_2$:
$x_1 = \frac{800 - 1000}{30} = \frac{-200}{30} \approx -6.67$
$x_2 = \frac{1200 - 1000}{30} = \frac{200}{30} \approx 6.67$
Тогда вероятность равна:
$P(800 \le X \le 1200) \approx \Phi(6.67) - \Phi(-6.67) = 2\Phi(6.67)$.
Так как аргумент $x = 6.67$ очень велик ($x > 5$), значение функции Лапласа $\Phi(6.67)$ очень близко к 0.5.
$P(800 \le X \le 1200) \approx 2 \cdot 0.5 = 1$.
Это означает, что событие практически достоверно.
Ответ: $\approx 1$.

г) не менее 2000 человек?
Требуется найти $P(X \ge 2000)$, что соответствует $P(2000 \le X \le 10000)$.
Вычисляем значения $x_1$ и $x_2$:
$x_1 = \frac{2000 - 1000}{30} = \frac{1000}{30} \approx 33.33$
$x_2 = \frac{10000 - 1000}{30} = \frac{9000}{30} = 300$
Тогда вероятность равна:
$P(2000 \le X \le 10000) \approx \Phi(300) - \Phi(33.33)$.
Оба аргумента $33.33$ и $300$ очень велики, поэтому значения функции Лапласа для них практически равны 0.5.
$P(2000 \le X \le 10000) \approx 0.5 - 0.5 = 0$.
Это означает, что событие практически невозможно.
Ответ: $\approx 0$.

25.19. Известно, что из всех поступавших в университет абитуриентов в среднем 60 % набрали на экзаменах более 20 баллов. Какова вероятность того, что из 100 случайно выбранных абитуриентов более 20 баллов набрали:

а) от 50 до 70 человек;

б) не менее 20 человек;

в) не более 60 человек;

г) более 69 человек?

Пусть $X$ — случайная величина, равная числу абитуриентов, набравших более 20 баллов, из 100 случайно отобранных. Проверка каждого абитуриента является независимым испытанием. Вероятность "успеха" (абитуриент набрал более 20 баллов) в каждом испытании постоянна и равна $p = 60\% = 0.6$.

Таким образом, случайная величина $X$ распределена по биномиальному закону с параметрами $n=100$ (число испытаний) и $p=0.6$ (вероятность успеха). Вероятность "неудачи" (абитуриент набрал не более 20 баллов) равна $q = 1 - p = 0.4$.

Поскольку число испытаний $n=100$ велико, для нахождения вероятностей мы можем использовать нормальное приближение к биномиальному распределению (теорему Муавра-Лапласа). Условия применимости теоремы выполняются: $np = 100 \times 0.6 = 60 > 5$ и $nq = 100 \times 0.4 = 40 > 5$.

Биномиальное распределение можно аппроксимировать нормальным распределением со следующими параметрами:

• Математическое ожидание (среднее значение): $M(X) = np = 60$.
• Среднеквадратическое отклонение: $\sigma(X) = \sqrt{npq} = \sqrt{100 \times 0.6 \times 0.4} = \sqrt{24} \approx 4.899$.

Для вычисления вероятностей будем использовать интегральную теорему Муавра-Лапласа с поправкой на непрерывность. Вероятность того, что число успехов $X$ окажется в промежутке от $k_1$ до $k_2$, вычисляется по формуле:
$P(k_1 \le X \le k_2) \approx \Phi(x_2) - \Phi(x_1)$, где $x_1 = \frac{k_1 - 0.5 - np}{\sqrt{npq}}$ и $x_2 = \frac{k_2 + 0.5 - np}{\sqrt{npq}}$.
Здесь $\Phi(x)$ — функция Лапласа (значения которой берутся из таблиц), представляющая собой интеграл от стандартной нормальной функции распределения.

а) от 50 до 70 человек;

Требуется найти вероятность $P(50 \le X \le 70)$. Применяем поправку на непрерывность. Границы интервала: $k_1 = 50$, $k_2 = 70$.

Вычисляем стандартизированные значения $x_1$ и $x_2$:
$x_1 = \frac{50 - 0.5 - 60}{\sqrt{24}} = \frac{-10.5}{4.899} \approx -2.14$
$x_2 = \frac{70 + 0.5 - 60}{\sqrt{24}} = \frac{10.5}{4.899} \approx 2.14$

Вероятность равна:
$P(50 \le X \le 70) \approx \Phi(2.14) - \Phi(-2.14)$

Используя свойство функции Лапласа $\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$, получаем:
$P \approx \Phi(2.14) - (1 - \Phi(2.14)) = 2\Phi(2.14) - 1$

Из таблицы значений функции распределения стандартного нормального закона находим $\Phi(2.14) \approx 0.9838$.
$P \approx 2 \times 0.9838 - 1 = 1.9676 - 1 = 0.9676$

Ответ: $0.9676$

б) не менее 20 человек;

Требуется найти вероятность $P(X \ge 20)$, что эквивалентно $P(20 \le X \le 100)$. Границы интервала: $k_1 = 20$, $k_2 = 100$.

Вычисляем стандартизированные значения $x_1$ и $x_2$:
$x_1 = \frac{20 - 0.5 - 60}{\sqrt{24}} = \frac{-40.5}{4.899} \approx -8.27$
$x_2 = \frac{100 + 0.5 - 60}{\sqrt{24}} = \frac{40.5}{4.899} \approx 8.27$

Вероятность равна:
$P(20 \le X \le 100) \approx \Phi(8.27) - \Phi(-8.27) = 2\Phi(8.27) - 1$

Значение функции $\Phi(x)$ для $x > 4$ практически равно 1. Таким образом, $\Phi(8.27) \approx 1$.
$P \approx 2 \times 1 - 1 = 1$

Вероятность этого события чрезвычайно высока и практически равна 1, так как 20 человек находится более чем на 8 стандартных отклонений ниже среднего (60).

Ответ: $\approx 1$

в) не более 60 человек;

Требуется найти вероятность $P(X \le 60)$, что эквивалентно $P(0 \le X \le 60)$. Границы интервала: $k_1 = 0$, $k_2 = 60$.

Вычисляем стандартизированное значение для верхней границы:
$x_2 = \frac{60 + 0.5 - 60}{\sqrt{24}} = \frac{0.5}{4.899} \approx 0.10$

Вероятность равна $P(X \le 60) \approx \Phi(0.10)$.
(Нижняя граница $x_1 = \frac{0 - 0.5 - 60}{\sqrt{24}} \approx -12.35$, и $\Phi(-12.35) \approx 0$, поэтому ей можно пренебречь).

Из таблицы значений функции распределения стандартного нормального закона находим $\Phi(0.10) \approx 0.5398$.

Ответ: $0.5398$

г) более 69 человек?

Требуется найти вероятность $P(X > 69)$, что эквивалентно $P(X \ge 70)$ или $P(70 \le X \le 100)$. Границы интервала: $k_1 = 70$, $k_2 = 100$.

Вычисляем стандартизированное значение для нижней границы:
$x_1 = \frac{70 - 0.5 - 60}{\sqrt{24}} = \frac{9.5}{4.899} \approx 1.94$

Вероятность равна $P(X > 69) \approx P(Z \ge 1.94)$, где $Z$ — стандартная нормальная величина.
$P(Z \ge 1.94) = 1 - P(Z < 1.94) = 1 - \Phi(1.94)$

Из таблицы значений функции распределения стандартного нормального закона находим $\Phi(1.94) \approx 0.9738$.
$P \approx 1 - 0.9738 = 0.0262$

Ответ: $0.0262$

•25.20. В большом десятиэтажном доме на каждом этаже живёт одинаковое количество жильцов. Какова вероятность того, что из 150 случайным образом опрошенных жильцов этого дома:

а) на первом этаже проживают не менее 15 человек;

б) на последних двух этажах проживают не более 30 человек;

в) на чётных этажах живут от 70 до 80 человек;

г) выше четвёртого этажа живут более 99 человек?

Данную задачу можно решить, используя нормальное приближение биномиального распределения (интегральную теорему Муавра-Лапласа), так как число опрошенных жильцов ($n=150$) велико.

Общее количество испытаний $n=150$. Для каждого подпункта определим вероятность "успеха" $p$. Математическое ожидание числа успехов равно $\mu = np$, а стандартное отклонение $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$. Вероятность $P(k_1 \le k \le k_2)$ для дискретной случайной величины $k$ приближённо равна $P(k_1 - 0.5 \le X \le k_2 + 0.5)$ для непрерывной нормальной случайной величины $X$. Эта вероятность вычисляется через функцию стандартного нормального распределения $\Phi(z)$, где $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$.

а) на первом этаже проживают не менее 15 человек

Вероятность того, что случайно выбранный жилец живёт на первом этаже, составляет $p = \frac{1}{10} = 0.1$.
Найдём математическое ожидание и стандартное отклонение для числа жильцов с первого этажа среди 150 опрошенных:
$\mu = np = 150 \cdot 0.1 = 15$.
$\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{150 \cdot 0.1 \cdot 0.9} = \sqrt{13.5} \approx 3.674$.
Нам нужно найти вероятность $P(k \ge 15)$. С учётом поправки на непрерывность, это соответствует $P(X \ge 14.5)$.
Вычислим z-значение:
$z = \frac{14.5 - 15}{3.674} = \frac{-0.5}{3.674} \approx -0.136$.
Искомая вероятность:
$P(k \ge 15) \approx P(Z \ge -0.136) = 1 - \Phi(-0.136) = \Phi(0.136)$.
По таблице значений функции стандартного нормального распределения, $\Phi(0.136) \approx 0.5541$.
Ответ: $0.5541$.

б) на последних двух этажах проживают не более 30 человек

Вероятность того, что случайно выбранный жилец живёт на одном из двух последних этажей (9-м или 10-м), составляет $p = \frac{2}{10} = 0.2$.
Найдём математическое ожидание и стандартное отклонение:
$\mu = np = 150 \cdot 0.2 = 30$.
$\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{150 \cdot 0.2 \cdot 0.8} = \sqrt{24} \approx 4.899$.
Нам нужно найти вероятность $P(k \le 30)$. С учётом поправки на непрерывность, это соответствует $P(X \le 30.5)$.
Вычислим z-значение:
$z = \frac{30.5 - 30}{4.899} = \frac{0.5}{4.899} \approx 0.102$.
Искомая вероятность:
$P(k \le 30) \approx P(Z \le 0.102) = \Phi(0.102)$.
По таблице, $\Phi(0.102) \approx 0.5406$.
Ответ: $0.5406$.

в) на чётных этажах живут от 70 до 80 человек

В доме 5 чётных этажей (2, 4, 6, 8, 10). Вероятность того, что случайно выбранный жилец живёт на чётном этаже, составляет $p = \frac{5}{10} = 0.5$.
Найдём математическое ожидание и стандартное отклонение:
$\mu = np = 150 \cdot 0.5 = 75$.
$\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{150 \cdot 0.5 \cdot 0.5} = \sqrt{37.5} \approx 6.124$.
Нам нужно найти вероятность $P(70 \le k \le 80)$. С учётом поправки на непрерывность, это соответствует $P(69.5 \le X \le 80.5)$.
Вычислим z-значения для границ интервала:
$z_1 = \frac{69.5 - 75}{6.124} = \frac{-5.5}{6.124} \approx -0.898$.
$z_2 = \frac{80.5 - 75}{6.124} = \frac{5.5}{6.124} \approx 0.898$.
Искомая вероятность:
$P(70 \le k \le 80) \approx P(-0.898 \le Z \le 0.898) = \Phi(0.898) - \Phi(-0.898) = 2\Phi(0.898) - 1$.
По таблице, $\Phi(0.898) \approx 0.8154$.
$P = 2 \cdot 0.8154 - 1 = 1.6308 - 1 = 0.6308$.
Ответ: $0.6308$.

г) выше четвёртого этажа живут более 99 человек

Этажи выше четвёртого — это 5, 6, 7, 8, 9, 10. Всего 6 этажей. Вероятность того, что случайно выбранный жилец живёт выше четвёртого этажа, составляет $p = \frac{6}{10} = 0.6$.
Найдём математическое ожидание и стандартное отклонение:
$\mu = np = 150 \cdot 0.6 = 90$.
$\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{150 \cdot 0.6 \cdot 0.4} = \sqrt{36} = 6$.
Нам нужно найти вероятность $P(k > 99)$, что эквивалентно $P(k \ge 100)$. С учётом поправки на непрерывность, это соответствует $P(X \ge 99.5)$.
Вычислим z-значение:
$z = \frac{99.5 - 90}{6} = \frac{9.5}{6} \approx 1.583$.
Искомая вероятность:
$P(k > 99) \approx P(Z \ge 1.583) = 1 - P(Z < 1.583) = 1 - \Phi(1.583)$.
По таблице, $\Phi(1.583) \approx 0.9433$.
$P = 1 - 0.9433 = 0.0567$.
Ответ: $0.0567$.