Страница 157, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

24.5. Отметки «2» и «3» не позволяют получать стипендию, будем считать их «нулевыми» (для получения стипендии). Отметки «4» и «5» будем считать «единичными». Для распределения отметок по категориям «нулевые» и «единичные»:

а) составьте таблицы распределения кратностей и частот;

б) постройте гистограмму распределения с шириной столбцов, равной 1;

в) вычислите моду и среднее значение;

г) вычислите дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Поскольку в условии задачи не предоставлен исходный набор данных (выборка отметок), для решения воспользуемся гипотетическим набором из 20 отметок:

Исходные отметки: {5, 4, 3, 4, 5, 2, 4, 3, 5, 5, 4, 4, 3, 2, 4, 5, 4, 3, 4, 5}.

Согласно условию, отметки «2» и «3» считаются «нулевыми» (значение 0), а отметки «4» и «5» — «единичными» (значение 1). После преобразования получаем следующую выборку бинарных значений:

{1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1}.

Общий объем выборки $n = 20$.

В этой выборке:

• Количество «нулевых» значений (0): $n_0 = 6$
• Количество «единичных» значений (1): $n_1 = 14$

а) составьте таблицы распределения кратностей и частот;

Кратность — это абсолютное количество раз, которое встречается значение в выборке. Частота (или относительная частота) — это отношение кратности к общему объему выборки ($W_i = n_i / n$).

Для значения 0: кратность $n_0 = 6$, частота $W_0 = 6 / 20 = 0.3$.

Для значения 1: кратность $n_1 = 14$, частота $W_1 = 14 / 20 = 0.7$.

Сведем данные в таблицу.

Ответ:

б) постройте гистограмму распределения с шириной столбцов, равной 1;

Для дискретного распределения строим столбчатую диаграмму, где высота каждого столбца соответствует кратности (частоте) значения. По оси X откладываются значения (0 и 1), по оси Y — кратности.

Ответ:

в) вычислите моду и среднее значение;

Мода ($M_o$) — это значение в выборке, которое встречается наиболее часто. Сравнивая кратности $n_0 = 6$ и $n_1 = 14$, видим, что значение 1 встречается чаще.

Среднее значение ($\bar{x}$) для дискретного ряда распределения вычисляется по формуле:

$\bar{x} = \frac{\sum x_i n_i}{n} = \frac{x_0 n_0 + x_1 n_1}{n}$

Подставляем наши данные:

$\bar{x} = \frac{(0 \cdot 6) + (1 \cdot 14)}{20} = \frac{0 + 14}{20} = \frac{14}{20} = 0.7$

Ответ: Мода $M_o = 1$; среднее значение $\bar{x} = 0.7$.

г) вычислите дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Дисперсия ($D$) — это мера разброса данных вокруг среднего значения. Она вычисляется как средний квадрат отклонений значений от их среднего. Формула для дискретного ряда:

$D = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2 n_i}{n}$

Используя найденное среднее $\bar{x} = 0.7$:

$D = \frac{(0 - 0.7)^2 \cdot 6 + (1 - 0.7)^2 \cdot 14}{20} = \frac{(-0.7)^2 \cdot 6 + (0.3)^2 \cdot 14}{20}$

$D = \frac{0.49 \cdot 6 + 0.09 \cdot 14}{20} = \frac{2.94 + 1.26}{20} = \frac{4.2}{20} = 0.21$

Среднее квадратическое отклонение ($\sigma$) — это корень квадратный из дисперсии. Оно показывает, насколько в среднем значения отклоняются от центра распределения.

$\sigma = \sqrt{D} = \sqrt{0.21} \approx 0.458$

Ответ: Дисперсия $D = 0.21$; среднее квадратическое отклонение $\sigma \approx 0.458$.

24.6. В специализированном спортивном магазине продаётся 50 видов велосипедов. Они распределены по цене так (граничную цену относят к более дорогой категории):

a) Сколько видов велосипедов стоят от 9 до 12 тыс. р.?

б) Какова частота очень дорогих ($ \ge 15 $ тыс. р.) видов велосипедов?

в) Какова процентная частота относительно дешёвых ($ < 6 $ тыс. р.) видов велосипедов?

г) Какова процентная частота моды проведённого измерения?

а) Чтобы найти количество видов велосипедов, стоящих от 9 до 12 тыс. р., нужно из общего количества видов (50) вычесть сумму известных количеств видов из других ценовых категорий.

Сначала найдем сумму известных количеств видов:

$3 + 8 + 19 + 11 + 2 = 43$

Теперь вычтем эту сумму из общего количества видов, чтобы найти недостающее значение для категории «9–12 тыс. р.»:

$50 - 43 = 7$

Таким образом, 7 видов велосипедов стоят от 9 до 12 тыс. р.

Ответ: 7.

б) Частота — это отношение количества элементов в определённой группе к общему количеству элементов. В данном случае, нас интересуют «очень дорогие» велосипеды (цена ≥ 15 тыс. р.).

Из таблицы известно, что количество видов очень дорогих велосипедов равно 2.

Общее количество видов велосипедов — 50.

Частота очень дорогих видов велосипедов вычисляется по формуле:

Частота = $\frac{\text{Количество видов в категории}}{\text{Общее количество видов}} = \frac{2}{50} = 0,04$

Ответ: 0,04.

в) Относительно дешёвыми считаются велосипеды ценой менее 6 тыс. р. (< 6 тыс. р.). В эту группу входят велосипеды из категорий «до 3 тыс. р.» и «3–6 тыс. р.» (так как по условию граничная цена 6 тыс. р. относится к более дорогой категории «6–9 тыс. р.»).

Суммарное количество относительно дешёвых видов велосипедов:

$3 + 8 = 11$

Процентная частота — это частота, умноженная на 100%. Она вычисляется по формуле:

Процентная частота = $\frac{\text{Количество относительно дешёвых видов}}{\text{Общее количество видов}} \times 100\%$

Процентная частота = $\frac{11}{50} \times 100\% = 0,22 \times 100\% = 22\%$

Ответ: 22%.

г) Мода для сгруппированных данных — это интервал, которому соответствует наибольшая частота (в данном случае, наибольшее количество видов). Проанализировав ряд количеств (3, 8, 19, 7, 11, 2), мы видим, что наибольшее число — 19. Это число соответствует ценовому интервалу «6–9 тыс. р.», который и является модой данного измерения.

Процентная частота моды — это доля модальной группы в общем объёме данных, выраженная в процентах. Частота моды равна 19.

Процентная частота моды = $\frac{\text{Частота модального интервала}}{\text{Общее количество видов}} \times 100\%$

Процентная частота моды = $\frac{19}{50} \times 100\% = 0,38 \times 100\% = 38\%$

Ответ: 38%.

24.7. В сводной таблице распределения данных некоторого измерения остались пустые места:

a) Какой столбец можно сразу заполнить, исходя из этих данных?

б) Какую строку можно заполнить после выполнения пункта а)?

в) Заполните всю таблицу.

г) Укажите моду распределения.

а) Какой столбец можно сразу заполнить, исходя из этих данных?

Исходя из имеющихся данных, можно сразу полностью заполнить столбец № 2. В этом столбце известны и кратность (абсолютная частота), и частота в процентах. Это позволяет найти общий объем выборки $N$, который является ключевым для заполнения всей остальной таблицы.

1. Сначала найдем относительную частоту для варианты № 2, используя известную частоту в процентах:

Частота $= \frac{Частота, \%}{100} = \frac{25}{100} = 0,25$

2. Теперь, зная кратность ($M_2 = 5$) и относительную частоту ($W_2 = 0,25$), мы можем найти общий объем выборки ($N$), то есть общее количество всех измерений. Объем выборки — это сумма всех кратностей.

Формула для относительной частоты: $W = \frac{M}{N}$, где $W$ — относительная частота, $M$ — кратность, $N$ — объем выборки.

Отсюда $N = \frac{M_2}{W_2} = \frac{5}{0,25} = 20$.

Таким образом, для столбца № 2 мы знаем все три значения: кратность = 5, частота = 0,25, частота, % = 25. А также мы нашли объем выборки $N = 20$.

Ответ: Столбец № 2.

б) Какую строку можно заполнить после выполнения пункта а)?

После того как мы нашли общий объем выборки $N = 20$ в пункте а), мы можем заполнить всю строку "Кратность".

Кратность для каждой варианты можно рассчитать по формуле $M = W \cdot N$ (кратность равна произведению относительной частоты на объем выборки). Для некоторых вариант придется сначала найти относительную частоту из процентов.

• Варианта № 1: Частота $W_1 = 0,45$.
  Кратность $M_1 = W_1 \cdot N = 0,45 \cdot 20 = 9$.

• Варианта № 2: Кратность $M_2 = 5$ (дано в условии).

• Варианта № 3: Частота $W_3 = 0,1$.
  Кратность $M_3 = W_3 \cdot N = 0,1 \cdot 20 = 2$.

• Варианта № 4: Частота, % $= 20\%$, значит частота $W_4 = \frac{20}{100} = 0,2$.
  Кратность $M_4 = W_4 \cdot N = 0,2 \cdot 20 = 4$.

Также мы можем заполнить ячейку "Сумма" для этой строки, так как она равна объему выборки: $9 + 5 + 2 + 4 = 20$.

Ответ: Строку "Кратность".

в) Заполните всю таблицу.

Для полного заполнения таблицы выполним все необходимые расчеты, используя объем выборки $N=20$ и связи между кратностью, частотой и частотой в процентах ($W = M/N$; Частота, % $= W \cdot 100$).

Расчеты для каждой варианты:

• Варианта № 1:
  Дано: Частота $W_1 = 0,45$.
  Кратность: $M_1 = 0,45 \cdot 20 = 9$.
  Частота, %: $0,45 \cdot 100 = 45\%$.

• Варианта № 2:
  Дано: Кратность $M_2 = 5$, Частота, % $= 25\%$.
  Частота: $W_2 = 25 / 100 = 0,25$.

• Варианта № 3:
  Дано: Частота $W_3 = 0,1$.
  Кратность: $M_3 = 0,1 \cdot 20 = 2$.
  Частота, %: $0,1 \cdot 100 = 10\%$.

• Варианта № 4:
  Дано: Частота, % $= 20\%$.
  Частота: $W_4 = 20 / 100 = 0,2$.
  Кратность: $M_4 = 0,2 \cdot 20 = 4$.

Итоговые суммы:

• Сумма кратностей: $9 + 5 + 2 + 4 = 20$.

• Сумма частот: $0,45 + 0,25 + 0,1 + 0,2 = 1$.

• Сумма частот, %: $45 + 25 + 10 + 20 = 100\%$.

Заполненная таблица:

Ответ: Таблица заполнена выше.

г) Укажите моду распределения.

Мода распределения — это варианта, которая встречается в выборке чаще всего. Ей соответствует наибольшая кратность (абсолютная частота).

Из заполненной таблицы видно, что кратности для вариант равны:

• Варианта № 1: кратность 9

• Варианта № 2: кратность 5

• Варианта № 3: кратность 2

• Варианта № 4: кратность 4

Наибольшая кратность равна 9, и она соответствует варианте № 1.

Ответ: Мода распределения — Варианта № 1.