Страница 151, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Запишите значение числа $e$ с точностью до десятых; с точностью до сотых.

с точностью до десятых
Число $e$ (число Эйлера) — это иррациональная математическая константа, значение которой приблизительно равно $2,71828...$
Чтобы округлить это число до десятых, необходимо посмотреть на цифру в следующем разряде, то есть в разряде сотых. В числе $e$ это цифра 1.
Согласно правилам округления, если следующая за округляемой цифра меньше 5 (в нашем случае $1 < 5$), то округляемая цифра не меняется, а все последующие отбрасываются.
Следовательно, при округлении до десятых получаем $2,7$.
Ответ: 2,7

с точностью до сотых
Для округления числа $e \approx 2,71828...$ до сотых, мы смотрим на цифру в разряде тысячных. Это цифра 8.
Так как следующая за округляемой цифра равна 5 или больше (в нашем случае $8 \ge 5$), то округляемую цифру (в разряде сотых) нужно увеличить на единицу, а все последующие отбросить.
Цифра в разряде сотых равна 1, увеличиваем ее на единицу: $1 + 1 = 2$.
Следовательно, при округлении до сотых получаем $2,72$.
Ответ: 2,72

2. Какой угол образует с положительным направлением оси абсцисс касательная к графику функции $y = e^x$ в точке $x = 0$?

Угол $\alpha$, который образует касательная к графику функции с положительным направлением оси абсцисс, определяется через ее угловой коэффициент $k$ по формуле $k = \tan(\alpha)$.

Угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $x_0$ равен значению производной этой функции в данной точке, то есть $k = f'(x_0)$.

В нашем случае дана функция $y = e^x$ и точка $x_0 = 0$.

1. Найдем производную функции.

Производная от экспоненциальной функции $e^x$ равна самой себе:

$y' = (e^x)' = e^x$

2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$.

Это значение будет равно угловому коэффициенту $k$ касательной в этой точке:

$k = y'(0) = e^0 = 1$

3. Найдем угол $\alpha$.

Теперь, зная угловой коэффициент, мы можем найти искомый угол:

$\tan(\alpha) = k = 1$

Угол, тангенс которого равен 1, это $45^\circ$ или $\frac{\pi}{4}$ радиан.

$\alpha = \arctan(1) = 45^\circ$

Ответ: $45^\circ$.

3. Чему равна производная функции $y = e^x$?

Для нахождения производной функции $y = e^{x^2}$ необходимо использовать правило дифференцирования сложной функции, также известное как цепное правило. Данная функция представляет собой композицию двух функций: внешней экспоненциальной функции $f(u) = e^u$ и внутренней степенной функции $u(x) = x^2$.

Формула производной сложной функции выглядит следующим образом: $(f(u(x)))' = f'(u(x)) \cdot u'(x)$.

Найдем производные для каждой из этих функций по отдельности:

1. Производная внешней функции:
Внешняя функция — это $f(u) = e^u$. Ее производная по $u$ хорошо известна и равна самой функции:
$f'(u) = (e^u)' = e^u$.

2. Производная внутренней функции:
Внутренняя функция — это $u(x) = x^2$. Для нахождения ее производной используем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$u'(x) = (x^2)' = 2x^{2-1} = 2x$.

Теперь, согласно цепному правилу, мы должны умножить производную внешней функции (в которую вместо $u$ подставлена внутренняя функция $x^2$) на производную внутренней функции:

$y' = (e^{x^2})' = f'(u(x)) \cdot u'(x) = e^{x^2} \cdot (2x)$.

Переставив множители для более стандартного вида, получаем окончательный результат.

Ответ: $y' = 2xe^{x^2}$

4. Что такое натуральный логарифм?

Что такое натуральный логарифм?

Натуральный логарифм — это логарифм по основанию $e$. Число $e$ (также известное как число Эйлера) является фундаментальной математической константой. Это иррациональное число, приблизительное значение которого равно $2.71828$.

Натуральный логарифм числа $x$ обозначается как $\ln(x)$. Это стандартное сокращение для логарифма по основанию $e$, то есть, по определению: $$ \ln(x) = \log_e(x) $$

Основное определение натурального логарифма связывает его с экспоненциальной функцией. Выражение $y = \ln(x)$ эквивалентно выражению $e^y = x$. Таким образом, натуральный логарифм является функцией, обратной к экспоненциальной функции $f(x) = e^x$. Он отвечает на вопрос: «В какую степень необходимо возвести основание $e$, чтобы получить число $x$?»

Примеры:

• $\ln(1) = 0$, поскольку $e^0 = 1$.
• $\ln(e) = 1$, поскольку $e^1 = e$.
• $\ln(e^2) = 2$, поскольку по определению это степень, в которую нужно возвести $e$, чтобы получить $e^2$.
• $\ln(7.389) \approx 2$, поскольку $e^2 \approx 7.389$.

Геометрическая интерпретация:

Натуральный логарифм числа $a$ (где $a > 0$) можно определить как площадь под кривой графика функции $y = 1/t$ на отрезке от $1$ до $a$. Математически это выражается через определенный интеграл: $$ \ln(a) = \int_1^a \frac{1}{t} dt $$ Это определение особенно важно в математическом анализе, так как оно позволяет строго определить логарифм и доказать его свойства.

Свойства натурального логарифма:

Так как натуральный логарифм является частным случаем логарифмической функции, он обладает всеми её свойствами. Для любых положительных чисел $x$ и $y$ и любого действительного числа $p$:

• Свойство произведения: $\ln(x \cdot y) = \ln(x) + \ln(y)$
• Свойство частного: $\ln(x / y) = \ln(x) - \ln(y)$
• Свойство степени: $\ln(x^p) = p \cdot \ln(x)$

Кроме того, справедливы ключевые тождества, связывающие логарифм и экспоненту:

• $e^{\ln(x)} = x$ для всех $x > 0$
• $\ln(e^x) = x$ для всех действительных $x$

Применение:

Натуральные логарифмы играют ключевую роль во многих областях науки и инженерии, поскольку они естественным образом возникают при описании процессов, скорость изменения которых пропорциональна текущему значению величины (экспоненциальный рост или убывание).

• В математике и физике: решение дифференциальных уравнений, описание радиоактивного распада, термодинамические процессы.
• В финансах: расчет непрерывно начисляемых сложных процентов.
• В биологии и химии: моделирование роста популяций, кинетика химических реакций.
• В теории информации и информатике: измерение количества информации, анализ сложности алгоритмов.

Ответ: Натуральный логарифм — это логарифм по основанию $e$ (число Эйлера, $e \approx 2.718$), который обозначается как $\ln(x)$. Он является обратной функцией к экспоненциальной функции $e^x$ и широко применяется для моделирования процессов экспоненциального роста и убывания в различных областях науки и техники.

5. Как связаны между собой графики функций $y = e^x$ и $y = \ln x$?

Функции $y = e^x$ (показательная функция с основанием $e$) и $y = \ln x$ (натуральный логарифм) являются взаимно обратными. Это основное свойство, которое определяет связь между их графиками.

Чтобы убедиться в этом, найдем функцию, обратную к $y = e^x$. Для этого выразим $x$ через $y$. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию $e$: $ \ln y = \ln(e^x) $ По свойству логарифма $\ln(e^x) = x$, поэтому мы получаем: $ x = \ln y $ Теперь, чтобы записать обратную функцию в стандартном виде (где $y$ — функция от $x$), поменяем переменные $x$ и $y$ местами: $ y = \ln x $ Таким образом, мы доказали, что эти функции действительно являются взаимно обратными.

Геометрический смысл взаимно обратных функций заключается в том, что их графики симметричны относительно прямой $y = x$ (биссектрисы первого и третьего координатных углов).

Рассмотрим эту связь подробнее:

1. Точки на графиках. Если точка с координатами $(a, b)$ лежит на графике функции $y = e^x$, то это означает, что $b = e^a$. Тогда для обратной функции будет верно, что $a = \ln b$. Это значит, что точка с координатами $(b, a)$ лежит на графике функции $y = \ln x$. Точки $(a, b)$ и $(b, a)$ симметричны относительно прямой $y=x$. Например:

• Точка $(0, 1)$ лежит на графике $y = e^x$ (потому что $e^0 = 1$). Симметричная ей точка $(1, 0)$ лежит на графике $y = \ln x$ (потому что $\ln 1 = 0$).
• Точка $(1, e)$ лежит на графике $y = e^x$ (потому что $e^1 = e$). Симметричная ей точка $(e, 1)$ лежит на графике $y = \ln x$ (потому что $\ln e = 1$).

2. Область определения и область значений. Область определения одной функции является областью значений для обратной ей функции, и наоборот.

• Для $y = e^x$: область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, область значений $E(y) = (0; +\infty)$.
• Для $y = \ln x$: область определения $D(y) = (0; +\infty)$, область значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

3. Асимптоты. График функции $y = e^x$ имеет горизонтальную асимптоту $y = 0$ (ось Ox). При симметричном отражении относительно прямой $y=x$ эта асимптота переходит в вертикальную асимптоту $x=0$ (ось Oy) для графика функции $y = \ln x$.

Ответ: Графики функций $y=e^x$ и $y=\ln x$ симметричны друг другу относительно прямой $y=x$, так как эти функции являются взаимно обратными.

6. Какая из функций $y = e^x$ и $y = \ln x$ выпукла вверх, а какая — выпукла вниз?

Для определения направления выпуклости функции необходимо исследовать знак ее второй производной. Если на некотором интервале вторая производная функции положительна ($f''(x) > 0$), то функция на этом интервале является выпуклой вниз (вогнутой). Если же вторая производная отрицательна ($f''(x) < 0$), то функция является выпуклой вверх.

Для функции $y = e^x$

1. Находим первую производную:
$y' = (e^x)' = e^x$
2. Находим вторую производную:
$y'' = (e^x)' = e^x$
3. Анализируем знак второй производной. Показательная функция $e^x$ всегда положительна для любого действительного значения $x$. Следовательно, $y'' = e^x > 0$ на всей области определения.
Поскольку вторая производная всегда положительна, функция $y = e^x$ является выпуклой вниз.

Для функции $y = \ln x$

1. Находим первую производную. Область определения функции: $x > 0$.
$y' = (\ln x)' = \frac{1}{x}$
2. Находим вторую производную:
$y'' = \left(\frac{1}{x}\right)' = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$
3. Анализируем знак второй производной. В области определения ($x > 0$), выражение $x^2$ всегда положительно. Таким образом, дробь $-\frac{1}{x^2}$ всегда будет отрицательной. Следовательно, $y'' < 0$ на всей области определения.
Поскольку вторая производная всегда отрицательна, функция $y = \ln x$ является выпуклой вверх.

Ответ: Функция $y = e^x$ выпукла вниз, а функция $y = \ln x$ выпукла вверх.

7. Есть ли асимптоты у графиков функций $y = e^x$ и $y = \ln x$?

Если есть, то запишите их уравнения.

Да, у графиков обеих функций есть асимптоты. Рассмотрим каждую функцию отдельно.

y = e^x

Асимптота — это прямая, к которой график функции приближается бесконечно близко по мере удаления точки на графике от начала координат. Асимптоты бывают вертикальные, горизонтальные и наклонные.

1. Вертикальные асимптоты. Функция $y=e^x$ определена и непрерывна на всей числовой оси ($x \in (-\infty; +\infty)$). У нее нет точек, в которых значение функции стремилось бы к бесконечности. Следовательно, вертикальных асимптот у графика нет.

2. Горизонтальные и наклонные асимптоты. Для их нахождения необходимо исследовать поведение функции на бесконечности, то есть найти пределы.

Найдём предел при $x \to -\infty$:
$\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$
Поскольку предел равен конечному числу (0), прямая $y=0$ является горизонтальной асимптотой для графика функции при $x \to -\infty$.

Найдём предел при $x \to +\infty$:
$\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$
Предел равен бесконечности, значит, горизонтальной асимптоты при $x \to +\infty$ нет. Проверим наличие наклонной асимптоты вида $y=kx+b$. Коэффициент $k$ вычисляется как $k = \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x}$. По правилу Лопиталя, этот предел равен $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{1} = +\infty$. Так как $k$ не является конечным числом, наклонных асимптот тоже нет.

Таким образом, у графика функции $y=e^x$ есть одна горизонтальная асимптота.
Ответ: $y=0$.

y = ln x

1. Вертикальные асимптоты. Область определения функции натурального логарифма $y=\ln x$ — это все положительные числа, то есть $x \in (0; +\infty)$. Необходимо исследовать поведение функции на границе области определения, то есть при $x$, стремящемся к 0 справа ($x \to 0^+$).
$\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$
Поскольку предел равен бесконечности, прямая $x=0$ (ось ординат OY) является вертикальной асимптотой.

2. Горизонтальные и наклонные асимптоты. Исследуем поведение функции при $x \to +\infty$.
$\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$
Предел равен бесконечности, поэтому горизонтальной асимптоты нет.

Проверим наличие наклонной асимптоты $y=kx+b$.
$k = \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x}$
Используя правило Лопиталя (так как имеем неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}$), получаем:
$k = \lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln x)'}{(x)'} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1/x}{1} = 0$
Поскольку $k=0$, наклонной асимптоты нет (этот случай мог бы соответствовать горизонтальной асимптоте, но мы уже выяснили, что ее нет).

Таким образом, у графика функции $y=\ln x$ есть одна вертикальная асимптота.
Ответ: $x=0$.

8. Чему равна производная функции $y = \ln x$?

8. Чтобы найти производную функции $y = \ln x$, необходимо обратиться к таблице производных основных элементарных функций. Функция $y = \ln x$ — это натуральный логарифм, то есть логарифм по основанию $e$ (число Эйлера, $e \approx 2.718$). Её производная является одной из фундаментальных формул в дифференциальном исчислении.

Формула для производной натурального логарифма выглядит следующим образом:
$(\ln x)' = \frac{1}{x}$

Это равенство показывает, что скорость изменения функции $y = \ln x$ в любой точке $x$ обратно пропорциональна самому значению $x$.

Следует помнить, что область определения функции натурального логарифма — это все положительные действительные числа ($x > 0$). Следовательно, формула для её производной также справедлива для $x > 0$.

Ответ: $\frac{1}{x}$

9. Объясните, почему касательная к графику функции $y = \ln x$ в точке $x = 1$ составляет с положительным направлением оси абсцисс угол $45^\circ$.

Объяснение основывается на геометрическом смысле производной. Угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $k = f'(x_0)$. В свою очередь, угловой коэффициент $k$ равен тангенсу угла $\alpha$, который касательная образует с положительным направлением оси абсцисс: $k = \tan\alpha$.

Таким образом, чтобы найти угол наклона касательной, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции $y = \ln x$. Производная натурального логарифма: $y' = (\ln x)' = \frac{1}{x}$

2. Вычислить значение производной в точке касания $x = 1$. Это значение будет равно угловому коэффициенту $k$ касательной в этой точке. $k = y'(1) = \frac{1}{1} = 1$

3. Найти угол $\alpha$, зная, что его тангенс равен угловому коэффициенту. $\tan\alpha = k = 1$

Уравнение $\tan\alpha = 1$ имеет решение $\alpha = 45^\circ$ (или $\frac{\pi}{4}$ в радианах) для углов в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$.

Следовательно, поскольку производная функции $y = \ln x$ в точке $x = 1$ равна 1, тангенс угла наклона касательной в этой точке также равен 1, а сам угол равен $45^\circ$.

Ответ: Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в точке касания. Производная функции $y = \ln x$ есть $y' = \frac{1}{x}$. В точке $x = 1$ значение производной равно $y'(1) = \frac{1}{1} = 1$. Поскольку угловой коэффициент касательной $k$ равен тангенсу угла ее наклона $\alpha$ к положительному направлению оси абсцисс ($k = \tan \alpha$), то получаем $\tan \alpha = 1$. Отсюда следует, что угол $\alpha$ равен $45^\circ$.

22.16. Точка случайным образом выбирается из фигуры, ограниченной графиком функции $y = e^x$, осью ординат и прямой $y = e$. Найдите вероятность того, что она лежит:

а) в первой координатной четверти;

б) правее прямой $x = 1$;

в) правее прямой $x = 0,5$;

г) ниже прямой $y = \sqrt{e}$.

Сначала определим фигуру, из которой выбирается точка. Фигура ограничена графиком функции $y = e^x$, осью ординат ($x = 0$) и прямой $y = e$. Найдем точки пересечения этих линий:

• Пересечение $y = e^x$ и $x = 0$: $y = e^0 = 1$. Точка $(0, 1)$.
• Пересечение $y = e^x$ и $y = e$: $e = e^x$, откуда $x = 1$. Точка $(1, e)$.

Таким образом, фигура представляет собой область, ограниченную слева прямой $x=0$, справа прямой $x=1$, сверху прямой $y=e$ и снизу кривой $y=e^x$.

Вероятность в задачах на геометрическую вероятность определяется как отношение площади благоприятствующей области к площади всей фигуры. Найдем площадь всей фигуры ($S_{общ}$), вычислив определенный интеграл:

$S_{общ} = \int_{0}^{1} (e - e^x) dx = [ex - e^x]_{0}^{1} = (e \cdot 1 - e^1) - (e \cdot 0 - e^0) = (e - e) - (0 - 1) = 0 - (-1) = 1$.

Площадь всей фигуры равна 1. Теперь найдем вероятность для каждого случая, вычисляя площадь соответствующей подобласти ($S_{бл}$). Вероятность будет равна $P = \frac{S_{бл}}{S_{общ}} = S_{бл}$.

а) в первой координатной четверти;

Первая координатная четверть определяется условиями $x \ge 0$ и $y \ge 0$. Наша фигура задана для $0 \le x \le 1$, поэтому условие $x \ge 0$ выполняется. Нижняя граница фигуры — кривая $y = e^x$. Поскольку для $x \in [0, 1]$ значение $e^x$ меняется от $e^0=1$ до $e^1=e$, то $y \ge 1$, и, следовательно, $y > 0$. Таким образом, вся фигура целиком лежит в первой координатной четверти. Площадь благоприятствующей области равна площади всей фигуры, то есть 1.

Вероятность $P = \frac{S_{бл}}{S_{общ}} = \frac{1}{1} = 1$.

Ответ: $1$

б) правее прямой $x = 1$;

Условие "правее прямой $x=1$" означает, что координата $x$ точки должна быть больше 1 ($x > 1$). Однако вся наша фигура расположена в полосе $0 \le x \le 1$. Нет ни одной точки в фигуре, которая удовлетворяла бы условию $x > 1$. Следовательно, площадь благоприятствующей области равна 0.

Вероятность $P = \frac{S_{бл}}{S_{общ}} = \frac{0}{1} = 0$.

Ответ: $0$

в) правее прямой $x = 0,5$;

Благоприятствующая область — это часть фигуры, для которой $x > 0,5$. Эта область ограничена прямыми $x=0,5$, $x=1$, $y=e$ и кривой $y=e^x$. Найдем ее площадь:

$S_{бл} = \int_{0,5}^{1} (e - e^x) dx = [ex - e^x]_{0,5}^{1} = (e \cdot 1 - e^1) - (e \cdot 0,5 - e^{0,5}) = (e - e) - (0,5e - \sqrt{e}) = 0 - 0,5e + \sqrt{e} = \sqrt{e} - 0,5e$.

Вероятность $P = \frac{S_{бл}}{S_{общ}} = \frac{\sqrt{e} - 0,5e}{1} = \sqrt{e} - 0,5e$.

Ответ: $\sqrt{e} - 0,5e$

г) ниже прямой $y = \sqrt{e}$.

Благоприятствующая область — это часть фигуры, для которой $y < \sqrt{e}$. В нашей фигуре $y$ изменяется от $e^x$ до $e$. Условие $y < \sqrt{e}$ вместе с исходным ограничением $y \ge e^x$ дает нам $e^x \le y < \sqrt{e}$. Это неравенство возможно только если $e^x \le \sqrt{e}$, то есть $e^x \le e^{0,5}$, что равносильно $x \le 0,5$. Таким образом, благоприятствующая область ограничена $0 \le x \le 0,5$, снизу $y=e^x$, сверху $y=\sqrt{e}$. Найдем ее площадь:

$S_{бл} = \int_{0}^{0,5} (\sqrt{e} - e^x) dx = [x\sqrt{e} - e^x]_{0}^{0,5} = (0,5\sqrt{e} - e^{0,5}) - (0 \cdot \sqrt{e} - e^0) = (0,5\sqrt{e} - \sqrt{e}) - (0 - 1) = -0,5\sqrt{e} + 1 = 1 - 0,5\sqrt{e}$.

Вероятность $P = \frac{S_{бл}}{S_{общ}} = \frac{1 - 0,5\sqrt{e}}{1} = 1 - 0,5\sqrt{e}$.

Ответ: $1 - 0,5\sqrt{e}$

22.17. Под аркой синусоиды $y = \sin x, 0 \leqslant x \leqslant \pi$, случайным образом выбирают точку выше оси абсцисс. Найдите вероятность того, что она лежит:

а) выше прямой $y = \sqrt{2}$;

б) левее прямой $x = \frac{\pi}{3}$;

в) ниже прямой $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$;

г) правее прямой $x = \frac{3\pi}{4}$.

Для решения задачи используется геометрическое определение вероятности. Вероятность события равна отношению площади фигуры, соответствующей благоприятным исходам, к площади всей области возможных исходов.

Область возможных исходов — это фигура, ограниченная кривой $y = \sin x$ и осью абсцисс на отрезке $0 \le x \le \pi$. Найдем ее площадь $S$, которая является мерой всего пространства элементарных событий.

$S = \int_{0}^{\pi} \sin x \,dx = [-\cos x]_{0}^{\pi} = (-\cos \pi) - (-\cos 0) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2$.

Общая площадь области равна 2.

a) выше прямой $y = \sqrt{2}$

Событие заключается в том, что случайно выбранная точка $(x, y)$ лежит выше прямой $y = \sqrt{2}$, то есть $y > \sqrt{2}$. Точка также должна находиться в области под аркой синусоиды, что означает $0 \le y \le \sin x$.

Максимальное значение функции $y = \sin x$ на отрезке $[0, \pi]$ равно 1. Поскольку $\sqrt{2} \approx 1.414 > 1$, не существует точек в заданной области, для которых $y > \sqrt{2}$.

Следовательно, площадь области, благоприятствующей данному событию, равна 0. Вероятность такого события равна отношению площади благоприятствующей области к общей площади.

$P = \frac{0}{S} = \frac{0}{2} = 0$.

Ответ: $0$.

б) левее прямой $x = \frac{\pi}{3}$

Событие заключается в том, что абсцисса случайно выбранной точки $x$ меньше $\frac{\pi}{3}$. Точка должна находиться в области, ограниченной условиями $0 \le x < \frac{\pi}{3}$ и $0 \le y \le \sin x$.

Площадь этой области $S_б$ (благоприятствующей событию) вычисляется с помощью интеграла:

$S_б = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin x \,dx = [-\cos x]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = \left(-\cos \frac{\pi}{3}\right) - (-\cos 0) = -\frac{1}{2} - (-1) = \frac{1}{2}$.

Вероятность этого события равна отношению площади $S_б$ к общей площади $S$.

$P = \frac{S_б}{S} = \frac{1/2}{2} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

в) ниже прямой $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Событие заключается в том, что ордината случайно выбранной точки $y$ меньше $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Область, благоприятствующая событию, определяется условиями $0 \le x \le \pi$ и $0 \le y < \min(\sin x, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

Для вычисления площади этой области $S_в$ необходимо разбить интервал интегрирования $[0, \pi]$ на части в зависимости от того, где $\sin x$ больше или меньше $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Решим уравнение $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ на отрезке $[0, \pi]$: $x_1 = \frac{\pi}{3}$ и $x_2 = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

• При $0 \le x \le \frac{\pi}{3}$ и $\frac{2\pi}{3} \le x \le \pi$, имеем $\sin x \le \frac{\sqrt{3}}{2}$. Верхняя граница области — $y = \sin x$.
• При $\frac{\pi}{3} < x < \frac{2\pi}{3}$, имеем $\sin x > \frac{\sqrt{3}}{2}$. Верхняя граница области — прямая $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Площадь $S_в$ равна сумме трёх интегралов:

$S_в = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin x \,dx + \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \frac{\sqrt{3}}{2} \,dx + \int_{\frac{2\pi}{3}}^{\pi} \sin x \,dx$

Вычислим каждый интеграл:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin x \,dx = [-\cos x]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$.

$\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \frac{\sqrt{3}}{2} \,dx = \frac{\sqrt{3}}{2} [x]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \left(\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{\pi\sqrt{3}}{6}$.

$\int_{\frac{2\pi}{3}}^{\pi} \sin x \,dx = [-\cos x]_{\frac{2\pi}{3}}^{\pi} = -(-1) - \left(-\cos\frac{2\pi}{3}\right) = 1 + \cos\frac{2\pi}{3} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Суммарная площадь: $S_в = \frac{1}{2} + \frac{\pi\sqrt{3}}{6} + \frac{1}{2} = 1 + \frac{\pi\sqrt{3}}{6}$.

Вероятность события: $P = \frac{S_в}{S} = \frac{1 + \frac{\pi\sqrt{3}}{6}}{2} = \frac{1}{2} + \frac{\pi\sqrt{3}}{12}$.

Ответ: $\frac{1}{2} + \frac{\pi\sqrt{3}}{12}$.

г) правее прямой $x = \frac{3\pi}{4}$

Событие заключается в том, что абсцисса случайно выбранной точки $x$ больше $\frac{3\pi}{4}$. Точка должна находиться в области, ограниченной условиями $\frac{3\pi}{4} < x \le \pi$ и $0 \le y \le \sin x$.

Площадь этой области $S_г$ вычисляется с помощью интеграла:

$S_г = \int_{\frac{3\pi}{4}}^{\pi} \sin x \,dx = [-\cos x]_{\frac{3\pi}{4}}^{\pi} = (-\cos \pi) - \left(-\cos \frac{3\pi}{4}\right) = -(-1) - \left(-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right) = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Вероятность этого события равна отношению площади $S_г$ к общей площади $S$.

$P = \frac{S_г}{S} = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}$.

●22.18. Найдите значение параметра $a$, если известно, что вероятность указанного события равна $0,5$:

а) точка фигуры, ограниченной параболой $y = x^2$, осью абсцисс и прямой $x = 1$, лежит левее прямой $x = a$;

б) точка фигуры, ограниченной графиком функции $y = \frac{1}{x^2}$, осью абсцисс и прямыми $x = 1$, $x = 2$, лежит ниже прямой $y = a$;

в) точка фигуры, ограниченной гиперболой $y = \frac{1}{x}$, осью абсцисс и прямыми $x = 1$, $x = 2$, лежит левее прямой $x = a$;

г) точка фигуры, ограниченной осью ординат, прямой $y = 2$ и графиком функции $y = |x - 1|$, лежит правее прямой $x = a$.

Данная задача относится к геометрической вероятности. Вероятность события определяется как отношение меры (в данном случае, площади) области, благоприятствующей событию, к мере (площади) всей области. Так как вероятность по условию равна 0,5, то это означает, что искомый параметр $a$ делит площадь указанной фигуры на две равные части.

а) Фигура ограничена параболой $y = x^2$, осью абсцисс ($y=0$) и прямой $x=1$. Поскольку парабола $y=x^2$ пересекает ось абсцисс в точке $x=0$, область определения фигуры по оси $x$ — это отрезок $[0, 1]$.

Найдем общую площадь фигуры $S$ как интеграл от функции $y=x^2$ на отрезке $[0, 1]$:

$S = \int_0^1 x^2 \,dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}$.

Событие состоит в том, что точка фигуры лежит левее прямой $x=a$. Это означает, что абсцисса точки меньше $a$. Очевидно, что $a$ должно находиться в интервале $(0, 1)$. Площадь $S_a$ части фигуры, лежащей левее прямой $x=a$, равна:

$S_a = \int_0^a x^2 \,dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^a = \frac{a^3}{3}$.

Вероятность этого события равна отношению площадей $P = \frac{S_a}{S}$. По условию, $P = 0,5$.

$\frac{a^3/3}{1/3} = 0,5 \implies a^3 = \frac{1}{2}$.

Отсюда находим $a$: $a = \sqrt[3]{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}$.

Ответ: $a = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}$.

б) Фигура ограничена графиком функции $y = \frac{1}{x^2}$, осью абсцисс ($y=0$) и прямыми $x=1$, $x=2$.

Найдем общую площадь фигуры $S$:

$S = \int_1^2 \frac{1}{x^2} \,dx = \left[ -\frac{1}{x} \right]_1^2 = \left(-\frac{1}{2}\right) - \left(-1\right) = \frac{1}{2}$.

Событие состоит в том, что точка фигуры лежит ниже прямой $y=a$. Это значит, что ордината точки меньше $a$. На отрезке $[1, 2]$ функция $y=\frac{1}{x^2}$ убывает от $y(1)=1$ до $y(2)=\frac{1}{4}$. Следовательно, параметр $a$ должен быть в пределах $[\frac{1}{4}, 1]$.

Площадь $S_a$ части фигуры, лежащей ниже прямой $y=a$, вычисляется как площадь области, ограниченной сверху линией $y = \min(a, \frac{1}{x^2})$. Точка пересечения кривой $y=\frac{1}{x^2}$ и прямой $y=a$ имеет абсциссу $x_0 = \frac{1}{\sqrt{a}}$. При $1 \le x < x_0$ имеем $\frac{1}{x^2} > a$, а при $x_0 < x \le 2$ имеем $\frac{1}{x^2} < a$.

Площадь $S_a$ равна:

$S_a = \int_1^{x_0} a \,dx + \int_{x_0}^2 \frac{1}{x^2} \,dx = [ax]_1^{x_0} + [-\frac{1}{x}]_{x_0}^2 = a(x_0 - 1) + (-\frac{1}{2} - (-\frac{1}{x_0})) = ax_0 - a - \frac{1}{2} + \frac{1}{x_0}$.

Подставим $x_0 = \frac{1}{\sqrt{a}}$:

$S_a = a\frac{1}{\sqrt{a}} - a - \frac{1}{2} + \sqrt{a} = 2\sqrt{a} - a - \frac{1}{2}$.

Вероятность $P = \frac{S_a}{S} = \frac{2\sqrt{a} - a - 1/2}{1/2} = 4\sqrt{a} - 2a - 1$. По условию $P=0,5$.

$4\sqrt{a} - 2a - 1 = 0,5 \implies 4a - 8\sqrt{a} + 3 = 0$.

Пусть $t = \sqrt{a}$. Получаем квадратное уравнение $4t^2 - 8t + 3 = 0$. Его корни $t_1 = \frac{3}{2}$ и $t_2 = \frac{1}{2}$.

Тогда $\sqrt{a} = \frac{3}{2}$ или $\sqrt{a} = \frac{1}{2}$, что дает $a = \frac{9}{4}$ или $a = \frac{1}{4}$.

Учитывая, что $a \in [\frac{1}{4}, 1]$, подходит только $a=\frac{1}{4}$.

Ответ: $a = \frac{1}{4}$.

в) Фигура ограничена гиперболой $y = \frac{1}{x}$, осью абсцисс ($y=0$) и прямыми $x=1$, $x=2$.

Найдем общую площадь фигуры $S$:

$S = \int_1^2 \frac{1}{x} \,dx = [\ln|x|]_1^2 = \ln(2) - \ln(1) = \ln(2)$.

Событие состоит в том, что точка фигуры лежит левее прямой $x=a$. Это значит, что абсцисса точки меньше $a$. Параметр $a$ должен быть в интервале $(1, 2)$. Площадь $S_a$ части фигуры левее $x=a$ равна:

$S_a = \int_1^a \frac{1}{x} \,dx = [\ln|x|]_1^a = \ln(a) - \ln(1) = \ln(a)$.

Вероятность $P = \frac{S_a}{S} = \frac{\ln(a)}{\ln(2)}$. По условию $P=0,5$.

$\frac{\ln(a)}{\ln(2)} = 0,5 \implies \ln(a) = 0,5 \ln(2) = \ln(2^{0,5}) = \ln(\sqrt{2})$.

Отсюда $a = \sqrt{2}$.

Ответ: $a = \sqrt{2}$.

г) Фигура ограничена осью ординат ($x=0$), прямой $y=2$ и графиком функции $y = |x-1|$.

Найдем общую площадь фигуры $S$. Фигура представляет собой область между графиком $y=|x-1|$ (нижняя граница) и прямой $y=2$ (верхняя граница), ограниченную слева осью ординат $x=0$. Правая граница определяется пересечением $y=2$ и $y=|x-1|$, что дает $x=3$.

Площадь фигуры вычислим через интеграл:

$S = \int_0^3 (2 - |x-1|) \,dx = \int_0^1 (2 - (1-x)) \,dx + \int_1^3 (2 - (x-1)) \,dx$

$S = \int_0^1 (1+x) \,dx + \int_1^3 (3-x) \,dx = \left[x + \frac{x^2}{2}\right]_0^1 + \left[3x - \frac{x^2}{2}\right]_1^3$

$S = \left(1 + \frac{1}{2}\right) + \left((9 - \frac{9}{2}) - (3 - \frac{1}{2})\right) = 1,5 + (4,5 - 2,5) = 1,5 + 2 = 3,5$.

Событие состоит в том, что точка фигуры лежит правее прямой $x=a$. Площадь этой части фигуры, $S_a$, должна быть равна половине общей площади: $S_a = 0,5 \cdot S = 0,5 \cdot 3,5 = 1,75$.

Площадь части фигуры правее $x=1$ равна $\int_1^3 (3-x)dx = 2$. Так как $1,75 < 2$, то прямая $x=a$ должна проходить правее прямой $x=1$, то есть $a \in (1, 3)$.

Найдем площадь $S_a$ части фигуры правее прямой $x=a$:

$S_a = \int_a^3 (2 - (x-1)) \,dx = \int_a^3 (3-x) \,dx = \left[3x - \frac{x^2}{2}\right]_a^3 = \left(9 - \frac{9}{2}\right) - \left(3a - \frac{a^2}{2}\right) = 4,5 - 3a + \frac{a^2}{2}$.

Приравняем эту площадь к 1,75:

$4,5 - 3a + \frac{a^2}{2} = 1,75 \implies \frac{a^2}{2} - 3a + 2,75 = 0 \implies 2a^2 - 12a + 11 = 0$.

Решим квадратное уравнение:

$a = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 2 \cdot 11}}{4} = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 88}}{4} = \frac{12 \pm \sqrt{56}}{4} = \frac{12 \pm 2\sqrt{14}}{4} = 3 \pm \frac{\sqrt{14}}{2}$.

Так как $a \in (1, 3)$, а $\sqrt{14} \approx 3,74$, то $3 + \frac{\sqrt{14}}{2} > 3$. Следовательно, нам подходит только корень со знаком минус.

$a = 3 - \frac{\sqrt{14}}{2}$.

Ответ: $a = 3 - \frac{\sqrt{14}}{2}$.

22.19. Случайным образом на координатной плоскости $xOy$ выбирают точку $P(x; y)$, $0 \le x \le 4$, $0 \le y \le 2$. Отрезок $OP$ является диагональю прямоугольника со сторонами, параллельными осям координат. Какова вероятность того, что периметр этого прямоугольника:

а) больше 20;

б) не больше 12;

в) меньше 4;

г) больше 10?

Данная задача относится к геометрической вероятности. Пространством элементарных исходов является множество точек $P(x; y)$ на координатной плоскости, удовлетворяющих условиям $0 \le x \le 4$ и $0 \le y \le 2$. Это множество представляет собой прямоугольник $G$ с вершинами в точках $(0, 0)$, $(4, 0)$, $(4, 2)$ и $(0, 2)$.

Площадь этого прямоугольника (общая мера пространства исходов) равна:
$S_G = 4 \cdot 2 = 8$ кв. ед.

Отрезок $OP$, где $O$ — начало координат $(0, 0)$, является диагональю прямоугольника со сторонами, параллельными осям координат. Длины сторон этого прямоугольника равны координатам точки $P$, то есть $x$ и $y$.
Периметр $L$ этого прямоугольника вычисляется по формуле:
$L = 2(x + y)$

Вероятность события $A$ вычисляется как отношение площади $S_A$ области, благоприятствующей этому событию, к общей площади $S_G$:
$P(A) = \frac{S_A}{S_G}$

а) больше 20

Найдем вероятность того, что периметр больше 20. Условие записывается как:
$L > 20 \implies 2(x + y) > 20 \implies x + y > 10$.
В заданной области $G$ максимальное значение $x$ равно 4, а максимальное значение $y$ равно 2. Следовательно, максимальное значение суммы $x + y$ в этой области равно $4 + 2 = 6$.
Неравенство $x + y > 10$ не может быть выполнено ни для одной точки из области $G$. Это означает, что область, благоприятствующая данному событию, является пустым множеством, и ее площадь $S_A = 0$.
Вероятность этого события:
$P = \frac{0}{8} = 0$.
Ответ: 0.

б) не больше 12

Найдем вероятность того, что периметр не больше 12. Условие записывается как:
$L \le 12 \implies 2(x + y) \le 12 \implies x + y \le 6$.
Как мы уже установили, максимальное значение суммы $x + y$ в области $G$ равно 6. Это означает, что для любой точки $(x, y)$ из области $G$ выполняется условие $x + y \le 6$.
Таким образом, область, благоприятствующая событию, совпадает со всей областью $G$, и ее площадь $S_A = S_G = 8$.
Вероятность этого события:
$P = \frac{8}{8} = 1$.
Ответ: 1.

в) меньше 4

Найдем вероятность того, что периметр меньше 4. Условие записывается как:
$L < 4 \implies 2(x + y) < 4 \implies x + y < 2$.
Нам нужно найти площадь области (обозначим ее $A$), определяемой системой неравенств:
$\begin{cases} 0 \le x \le 4 \\ 0 \le y \le 2 \\ x + y < 2 \end{cases}$
Эта область представляет собой треугольник, ограниченный осями координат ($x=0$, $y=0$) и прямой $x + y = 2$. Вершины этого треугольника — $(0, 0)$, $(2, 0)$ и $(0, 2)$. Этот треугольник полностью лежит внутри прямоугольника $G$.
Площадь этого треугольника (благоприятствующая область $S_A$):
$S_A = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$ кв. ед.
Вероятность этого события:
$P = \frac{S_A}{S_G} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} = 0,25$.
Ответ: 0,25.

г) больше 10?

Найдем вероятность того, что периметр больше 10. Условие записывается как:
$L > 10 \implies 2(x + y) > 10 \implies x + y > 5$.
Нам нужно найти площадь области $A$, определяемой системой неравенств:
$\begin{cases} 0 \le x \le 4 \\ 0 \le y \le 2 \\ x + y > 5 \end{cases}$
Прямая $x + y = 5$ отсекает от прямоугольника $G$ небольшой треугольник в его правом верхнем углу. Найдем вершины этого треугольника. Они являются точками пересечения прямой $x + y = 5$ с границами прямоугольника ($x=4$ и $y=2$), а также точкой пересечения самих границ.
1. Пересечение с прямой $y=2$: $x + 2 = 5 \implies x = 3$. Точка $(3, 2)$.
2. Пересечение с прямой $x=4$: $4 + y = 5 \implies y = 1$. Точка $(4, 1)$.
3. Вершина самого прямоугольника $G$: $(4, 2)$.
Таким образом, благоприятствующая область $S_A$ — это треугольник с вершинами $(3, 2)$, $(4, 2)$ и $(4, 1)$. Это прямоугольный треугольник с катетами длиной $4 - 3 = 1$ и $2 - 1 = 1$.
Площадь этого треугольника:
$S_A = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = 0,5$ кв. ед.
Вероятность этого события:
$P = \frac{S_A}{S_G} = \frac{0,5}{8} = \frac{1}{16} = 0,0625$.
Ответ: 0,0625.

22.20. Случайным образом на координатной плоскости $xOy$ выбирают точку $P(x; y)$, $0 \le x \le 4$, $0 \le y \le 2$. Отрезок $OP$ является диагональю прямоугольника со сторонами, параллельными осям координат. Какова вероятность того, что площадь этого прямоугольника:

a) больше 9;

б) меньше 10;

в) меньше 2;

г) больше 4?

В данной задаче используется геометрическое определение вероятности. Пространством элементарных исходов является прямоугольник $\Omega$ на плоскости $xOy$, заданный неравенствами $0 \le x \le 4$ и $0 \le y \le 2$. Площадь этого прямоугольника (общая мера) равна $S_{\Omega} = 4 \cdot 2 = 8$.

Точка $P(x; y)$ выбирается случайным образом из этого прямоугольника. Отрезок $OP$ является диагональю прямоугольника с вершинами в точках $(0, 0)$, $(x, 0)$, $(0, y)$ и $(x, y)$. Стороны этого прямоугольника равны $x$ и $y$, а его площадь $A$ вычисляется по формуле $A = x \cdot y$.

Вероятность события определяется как отношение площади области, соответствующей этому событию (благоприятной области), к общей площади $S_{\Omega}$.

а) больше 9;

Нам нужно найти вероятность того, что площадь $A$ больше 9, то есть $x \cdot y > 9$. В области $\Omega$ координата $x$ принимает значения от 0 до 4, а $y$ - от 0 до 2. Максимально возможное значение площади $A$ равно $A_{max} = 4 \cdot 2 = 8$. Поскольку максимальная возможная площадь равна 8, она никогда не может быть больше 9. Это означает, что не существует ни одной точки $(x, y)$ в области $\Omega$, для которой выполнялось бы условие $x \cdot y > 9$. Площадь благоприятной области равна 0. Следовательно, вероятность этого события равна $P(A > 9) = \frac{0}{S_{\Omega}} = \frac{0}{8} = 0$.
Ответ: $0$.

б) меньше 10;

Нам нужно найти вероятность того, что площадь $A$ меньше 10, то есть $x \cdot y < 10$. Как мы установили в предыдущем пункте, максимальное значение площади $A$ для любой точки из области $\Omega$ равно 8. Поскольку $8 < 10$, для любой точки $(x, y)$ из области $\Omega$ условие $x \cdot y < 10$ всегда будет выполняться. Таким образом, благоприятная область совпадает со всей областью $\Omega$. Площадь благоприятной области равна $S_{\Omega} = 8$. Вероятность этого события равна $P(A < 10) = \frac{S_{\Omega}}{S_{\Omega}} = \frac{8}{8} = 1$.
Ответ: $1$.

в) меньше 2;

Нам нужно найти вероятность того, что площадь $A$ меньше 2, то есть $x \cdot y < 2$. Это неравенство можно переписать как $y < \frac{2}{x}$. Нам нужно найти площадь $S_{fav}$ области, ограниченной условиями $0 \le x \le 4$, $0 \le y \le 2$ и $y < \frac{2}{x}$. Найдем точку пересечения гиперболы $y = \frac{2}{x}$ с границей прямоугольника $\Omega$. При $y=2$, имеем $2 = \frac{2}{x}$, откуда $x=1$. Точка пересечения с верхней границей - $(1, 2)$. При $x=4$, имеем $y = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Точка пересечения с правой границей - $(4, \frac{1}{2})$. Разобьем область интегрирования на две части по $x=1$:
1. Для $0 \le x \le 1$, гипербола $y = \frac{2}{x}$ находится выше верхней границы $y=2$ (т.к. при $x \le 1$, $\frac{2}{x} \ge 2$). Таким образом, для всех точек в этой части прямоугольника условие $y < \frac{2}{x}$ выполняется (так как $y \le 2$). Эта часть представляет собой прямоугольник с площадью $S_1 = 1 \cdot 2 = 2$.
2. Для $1 < x \le 4$, благоприятная область ограничена сверху кривой $y = \frac{2}{x}$. Площадь этой области найдем с помощью интеграла: $S_2 = \int_{1}^{4} \frac{2}{x} dx = 2[\ln|x|]_{1}^{4} = 2(\ln(4) - \ln(1)) = 2(\ln(4) - 0) = 2\ln(4)$.
Общая площадь благоприятной области: $S_{fav} = S_1 + S_2 = 2 + 2\ln(4)$. Вероятность события: $P(A < 2) = \frac{S_{fav}}{S_{\Omega}} = \frac{2 + 2\ln(4)}{8} = \frac{1 + \ln(4)}{4}$.
Ответ: $\frac{1 + \ln(4)}{4}$.

г) больше 4?

Нам нужно найти вероятность того, что площадь $A$ больше 4, то есть $x \cdot y > 4$. Это неравенство можно переписать как $y > \frac{4}{x}$. Нам нужно найти площадь $S_{fav}$ области, ограниченной условиями $0 \le x \le 4$, $0 \le y \le 2$ и $y > \frac{4}{x}$. Найдем точки пересечения гиперболы $y = \frac{4}{x}$ с границами прямоугольника $\Omega$. При $y=2$, имеем $2 = \frac{4}{x}$, откуда $x=2$. Точка пересечения с верхней границей - $(2, 2)$. При $x=4$, имеем $y = \frac{4}{4} = 1$. Точка пересечения с правой границей - $(4, 1)$. Благоприятная область (где $y > 4/x$) находится "над" гиперболой. Эта область определяется неравенствами $2 \le x \le 4$ и $\frac{4}{x} < y \le 2$. Площадь этой области можно найти, вычислив интеграл от разности верхней функции ($y=2$) и нижней ($y=4/x$) в пределах от $x=2$ до $x=4$: $S_{fav} = \int_{2}^{4} \left(2 - \frac{4}{x}\right) dx = [2x - 4\ln|x|]_{2}^{4} = (2 \cdot 4 - 4\ln(4)) - (2 \cdot 2 - 4\ln(2)) = (8 - 4\ln(4)) - (4 - 4\ln(2))$. $S_{fav} = 4 - 4\ln(4) + 4\ln(2)$. Используя свойство логарифма $\ln(4) = \ln(2^2) = 2\ln(2)$, получаем: $S_{fav} = 4 - 4(2\ln(2)) + 4\ln(2) = 4 - 8\ln(2) + 4\ln(2) = 4 - 4\ln(2)$. Вероятность события: $P(A > 4) = \frac{S_{fav}}{S_{\Omega}} = \frac{4 - 4\ln(2)}{8} = \frac{1 - \ln(2)}{2}$.
Ответ: $\frac{1 - \ln(2)}{2}$.