Страница 145, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

21.68. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой, изображённой на заданном рисунке:

а) рис. 7;
б) рис. 8.

Рис. 7

Рис. 8

а) рис. 7

Для того чтобы найти площадь фигуры, сначала необходимо определить уравнения параболы и прямой, затем найти их точки пересечения (которые определят пределы интегрирования), и, наконец, вычислить площадь как определенный интеграл разности функций.

1. Определение уравнений функций.

Парабола: Это парабола с ветвями, направленными вниз. Её вершина находится в точке $(1, 1)$. Общее уравнение параболы с вершиной в точке $(h, k)$ имеет вид $y = a(x-h)^2 + k$. Подставляя координаты вершины, получаем $y = a(x-1)^2 + 1$. Для нахождения коэффициента $a$ воспользуемся точкой на параболе, например, $(0, 0)$.
$0 = a(0-1)^2 + 1 \Rightarrow 0 = a + 1 \Rightarrow a = -1$.
Следовательно, уравнение параболы: $y = -(x-1)^2 + 1 = -(x^2 - 2x + 1) + 1 = -x^2 + 2x$.
Обозначим функцию параболы как $y_{парабола}(x) = -x^2 + 2x$.

Прямая: Прямая проходит через точки $(0, -2)$ и $(2, 0)$. Уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$. Из точки $(0, -2)$ находим y-пересечение $b = -2$. Коэффициент наклона $k$ найдем по двум точкам:
$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - (-2)}{2 - 0} = \frac{2}{2} = 1$.
Уравнение прямой: $y = x - 2$.
Обозначим функцию прямой как $y_{прямая}(x) = x - 2$.

2. Нахождение пределов интегрирования.

Найдем точки пересечения параболы и прямой, приравняв их уравнения:
$-x^2 + 2x = x - 2$
$-x^2 + x + 2 = 0$
$x^2 - x - 2 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$. Это и будут пределы интегрирования.

3. Вычисление площади.

Площадь $S$ фигуры равна интегралу от разности верхней и нижней функций. На интервале $[-1, 2]$ парабола $y_{парабола}$ находится выше прямой $y_{прямая}$.
$S = \int_{-1}^{2} (y_{парабола}(x) - y_{прямая}(x)) dx = \int_{-1}^{2} ((-x^2 + 2x) - (x - 2)) dx$
$S = \int_{-1}^{2} (-x^2 + x + 2) dx$
Вычислим интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:
$S = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-1}^{2} = \left(-\frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} + 2 \cdot 2\right) - \left(-\frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2} + 2(-1)\right)$
$S = \left(-\frac{8}{3} + 2 + 4\right) - \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2\right)$
$S = \left(6 - \frac{8}{3}\right) - \left(\frac{2+3-12}{6}\right) = \frac{18-8}{3} - \left(-\frac{7}{6}\right)$
$S = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4,5$

Ответ: $4,5$.

б) рис. 8

Действуем по той же схеме.

1. Определение уравнений функций.

Парабола: Это парабола с ветвями, направленными вверх. Вершина в точке $(1, -2)$. Уравнение имеет вид $y = a(x-1)^2 - 2$. Используем точку $(0, -1)$ для нахождения $a$:
$-1 = a(0-1)^2 - 2 \Rightarrow -1 = a - 2 \Rightarrow a = 1$.
Уравнение параболы: $y = (x-1)^2 - 2 = x^2 - 2x + 1 - 2 = x^2 - 2x - 1$.
Обозначим $y_{парабола}(x) = x^2 - 2x - 1$.

Прямая: Прямая проходит через точки $(-1, 2)$ и $(2, -1)$.
Коэффициент наклона $k = \frac{-1 - 2}{2 - (-1)} = \frac{-3}{3} = -1$.
Уравнение прямой $y = -x + b$. Подставим точку $(-1, 2)$: $2 = -(-1) + b \Rightarrow 2 = 1 + b \Rightarrow b = 1$.
Уравнение прямой: $y = -x + 1$.
Обозначим $y_{прямая}(x) = -x + 1$.

2. Нахождение пределов интегрирования.

Приравняем уравнения:
$x^2 - 2x - 1 = -x + 1$
$x^2 - x - 2 = 0$
Корни этого уравнения также $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.

3. Вычисление площади.

На интервале $[-1, 2]$ прямая $y_{прямая}$ находится выше параболы $y_{парабола}$.
$S = \int_{-1}^{2} (y_{прямая}(x) - y_{парабола}(x)) dx = \int_{-1}^{2} ((-x + 1) - (x^2 - 2x - 1)) dx$
$S = \int_{-1}^{2} (-x + 1 - x^2 + 2x + 1) dx$
$S = \int_{-1}^{2} (-x^2 + x + 2) dx$
Полученный интеграл полностью идентичен интегралу из пункта а). Следовательно, и его значение будет таким же.
$S = 4,5$.

Ответ: $4,5$.

21.69. а) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = 2x - 5$ и графиком её первообразной, проходящей через точку $M(1; -3)$.

б) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = 4x + 1$ и графиком её первообразной, проходящей через точку $M(2; 6)$.

а)

1. Найдём общую первообразную для функции $y = 2x - 5$.
$F(x) = \int (2x - 5) dx = 2\frac{x^2}{2} - 5x + C = x^2 - 5x + C$, где $C$ - константа.

2. Найдём конкретную первообразную, график которой проходит через точку $M(1; -3)$. Для этого подставим координаты точки в уравнение первообразной $F(x) = y$.
$-3 = 1^2 - 5(1) + C$
$-3 = 1 - 5 + C$
$-3 = -4 + C$
$C = 1$
Таким образом, искомая первообразная: $F(x) = x^2 - 5x + 1$.

3. Площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y = 2x - 5$ и $F(x) = x^2 - 5x + 1$, вычисляется с помощью определённого интеграла. Сначала найдём пределы интегрирования, которыми являются абсциссы точек пересечения графиков.
$2x - 5 = x^2 - 5x + 1$
$x^2 - 7x + 6 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 6$. Это и будут наши пределы интегрирования.

4. Определим, какая из функций больше на интервале $(1, 6)$. Возьмём тестовую точку, например, $x = 2$.
$y(2) = 2(2) - 5 = -1$
$F(2) = 2^2 - 5(2) + 1 = 4 - 10 + 1 = -5$
Так как $-1 > -5$, на интервале $(1, 6)$ график функции $y = 2x - 5$ лежит выше графика $F(x) = x^2 - 5x + 1$.

5. Вычислим площадь $S$ как интеграл разности функций.
$S = \int_{1}^{6} ((2x - 5) - (x^2 - 5x + 1)) dx = \int_{1}^{6} (2x - 5 - x^2 + 5x - 1) dx = \int_{1}^{6} (-x^2 + 7x - 6) dx$
$S = [-\frac{x^3}{3} + \frac{7x^2}{2} - 6x]_{1}^{6} = (-\frac{6^3}{3} + \frac{7 \cdot 6^2}{2} - 6 \cdot 6) - (-\frac{1^3}{3} + \frac{7 \cdot 1^2}{2} - 6 \cdot 1)$
$S = (-\frac{216}{3} + \frac{7 \cdot 36}{2} - 36) - (-\frac{1}{3} + \frac{7}{2} - 6) = (-72 + 126 - 36) - (\frac{-2 + 21 - 36}{6})$
$S = 18 - (-\frac{17}{6}) = 18 + \frac{17}{6} = \frac{108}{6} + \frac{17}{6} = \frac{125}{6}$

Ответ: $\frac{125}{6}$

б)

1. Найдём общую первообразную для функции $y = 4x + 1$.
$F(x) = \int (4x + 1) dx = 4\frac{x^2}{2} + x + C = 2x^2 + x + C$, где $C$ - константа.

2. Найдём конкретную первообразную, график которой проходит через точку $M(2; 6)$.
$6 = 2(2^2) + 2 + C$
$6 = 2 \cdot 4 + 2 + C$
$6 = 8 + 2 + C$
$6 = 10 + C$
$C = -4$
Таким образом, искомая первообразная: $F(x) = 2x^2 + x - 4$.

3. Найдём абсциссы точек пересечения графиков функций $y = 4x + 1$ и $F(x) = 2x^2 + x - 4$.
$4x + 1 = 2x^2 + x - 4$
$2x^2 - 3x - 5 = 0$
Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(2)(-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 7}{4} = -1$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$
Пределы интегрирования: от $-1$ до $\frac{5}{2}$.

4. Определим, какая из функций больше на интервале $(-1, \frac{5}{2})$. Возьмём тестовую точку $x = 0$.
$y(0) = 4(0) + 1 = 1$
$F(0) = 2(0)^2 + 0 - 4 = -4$
Так как $1 > -4$, на интервале $(-1, \frac{5}{2})$ график функции $y = 4x + 1$ лежит выше графика $F(x) = 2x^2 + x - 4$.

5. Вычислим площадь $S$ как интеграл разности функций.
$S = \int_{-1}^{\frac{5}{2}} ((4x + 1) - (2x^2 + x - 4)) dx = \int_{-1}^{\frac{5}{2}} (4x + 1 - 2x^2 - x + 4) dx = \int_{-1}^{\frac{5}{2}} (-2x^2 + 3x + 5) dx$
$S = [-\frac{2x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 5x]_{-1}^{\frac{5}{2}} = (-\frac{2}{3}(\frac{5}{2})^3 + \frac{3}{2}(\frac{5}{2})^2 + 5(\frac{5}{2})) - (-\frac{2(-1)^3}{3} + \frac{3(-1)^2}{2} + 5(-1))$
$S = (-\frac{2}{3}\frac{125}{8} + \frac{3}{2}\frac{25}{4} + \frac{25}{2}) - (\frac{2}{3} + \frac{3}{2} - 5) = (-\frac{125}{12} + \frac{75}{8} + \frac{25}{2}) - (\frac{4 + 9 - 30}{6})$
$S = (\frac{-250 + 225 + 300}{24}) - (\frac{-17}{6}) = \frac{275}{24} + \frac{17}{6} = \frac{275}{24} + \frac{68}{24} = \frac{343}{24}$

Ответ: $\frac{343}{24}$

21.70. a) Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой $y = 2x - x^2$, касательной к ней в точке $x = 1$ и осью $y$.

б) Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой $y = 2x^2 - 6x$, касательной к ней в точке $x = 1,5$ и осью $y$.

а)

Площадь фигуры ограничена параболой $y = 2x - x^2$, касательной к ней в точке $x_0 = 1$ и осью $y$ (прямой $x=0$).

1. Найдем уравнение касательной.
Общее уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
В нашем случае $f(x) = 2x - x^2$ и $x_0 = 1$.
Найдем значение функции в точке касания:
$f(1) = 2(1) - 1^2 = 1$.
Найдем производную функции:
$f'(x) = (2x - x^2)' = 2 - 2x$.
Найдем значение производной в точке касания (угловой коэффициент касательной):
$f'(1) = 2 - 2(1) = 0$.
Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = 1 + 0 \cdot (x - 1)$,
$y = 1$.
Итак, уравнение касательной — это $y_{кас} = 1$.

2. Вычислим площадь фигуры.
Фигура ограничена сверху касательной $y = 1$, снизу параболой $y = 2x - x^2$, слева осью $y$ ($x = 0$) и справа прямой $x = 1$ (абсцисса точки касания).
Площадь $S$ вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций в пределах от $x=0$ до $x=1$:
$S = \int_{0}^{1} (y_{кас} - f(x)) dx = \int_{0}^{1} (1 - (2x - x^2)) dx = \int_{0}^{1} (1 - 2x + x^2) dx$.
Вычисляем интеграл:
$S = \left( x - 2\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} \right) \bigg|_{0}^{1} = \left( x - x^2 + \frac{x^3}{3} \right) \bigg|_{0}^{1}$
$S = \left( 1 - 1^2 + \frac{1^3}{3} \right) - \left( 0 - 0^2 + \frac{0^3}{3} \right) = 1 - 1 + \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}$.

Ответ: $1/3$.

б)

Площадь фигуры ограничена параболой $y = 2x^2 - 6x$, касательной к ней в точке $x_0 = 1,5$ и осью $y$ (прямой $x=0$).

1. Найдем уравнение касательной.
Общее уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
В нашем случае $f(x) = 2x^2 - 6x$ и $x_0 = 1,5 = \frac{3}{2}$.
Найдем значение функции в точке касания:
$f(1,5) = 2(1,5)^2 - 6(1,5) = 2(2,25) - 9 = 4,5 - 9 = -4,5$.
Найдем производную функции:
$f'(x) = (2x^2 - 6x)' = 4x - 6$.
Найдем значение производной в точке касания:
$f'(1,5) = 4(1,5) - 6 = 6 - 6 = 0$.
Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = -4,5 + 0 \cdot (x - 1,5)$,
$y = -4,5$.
Итак, уравнение касательной — это $y_{кас} = -4,5$.

2. Вычислим площадь фигуры.
Парабола $y = 2x^2 - 6x$ имеет ветви, направленные вверх. Точка касания $x_0 = 1,5$ является абсциссой вершины параболы, где функция принимает минимальное значение. Следовательно, в искомом промежутке от $x=0$ до $x=1,5$ парабола находится выше касательной.
Фигура ограничена сверху параболой $y = 2x^2 - 6x$, снизу касательной $y = -4,5$, слева осью $y$ ($x = 0$) и справа прямой $x = 1,5$.
Площадь $S$ вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций в пределах от $x=0$ до $x=1,5$:
$S = \int_{0}^{1,5} (f(x) - y_{кас}) dx = \int_{0}^{1,5} ((2x^2 - 6x) - (-4,5)) dx = \int_{0}^{1,5} (2x^2 - 6x + 4,5) dx$.
Вычисляем интеграл, используя $1,5 = \frac{3}{2}$ и $4,5 = \frac{9}{2}$:
$S = \left( 2\frac{x^3}{3} - 6\frac{x^2}{2} + 4,5x \right) \bigg|_{0}^{1,5} = \left( \frac{2}{3}x^3 - 3x^2 + 4,5x \right) \bigg|_{0}^{1,5}$
$S = \left( \frac{2}{3}(1,5)^3 - 3(1,5)^2 + 4,5(1,5) \right) - (0)$
$S = \frac{2}{3}\left(\frac{3}{2}\right)^3 - 3\left(\frac{3}{2}\right)^2 + \frac{9}{2}\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{2}{3}\frac{27}{8} - 3\frac{9}{4} + \frac{27}{4} = \frac{9}{4} - \frac{27}{4} + \frac{27}{4} = \frac{9}{4}$.
$S = 2,25$.

Ответ: $2,25$.

21.71. a) Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = x^{\frac{4}{3}}$, касательной к графику этой функции, проведенной в точке $x_0 = 8$, и осью абсцисс.

б) Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = x\sqrt[4]{x}$, касательной к графику этой функции, проведенной в точке $x_0 = 1$, и осью ординат.

а)

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиком функции $y = x^{4/3}$, касательной к этому графику в точке $x_0 = 8$ и осью абсцисс, выполним следующие шаги:

1. Нахождение уравнения касательной.

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Наша функция: $f(x) = x^{4/3}$.

Находим значение функции в точке касания $x_0 = 8$:

$f(8) = 8^{4/3} = (8^{1/3})^4 = 2^4 = 16$.

Находим производную функции:

$f'(x) = (x^{4/3})' = \frac{4}{3}x^{4/3 - 1} = \frac{4}{3}x^{1/3}$.

Находим угловой коэффициент касательной в точке $x_0 = 8$:

$f'(8) = \frac{4}{3} \cdot 8^{1/3} = \frac{4}{3} \cdot 2 = \frac{8}{3}$.

Составляем уравнение касательной:

$y = 16 + \frac{8}{3}(x - 8) = 16 + \frac{8}{3}x - \frac{64}{3} = \frac{48 - 64}{3} + \frac{8}{3}x = \frac{8}{3}x - \frac{16}{3}$.

Итак, уравнение касательной: $y = \frac{8}{3}x - \frac{16}{3}$.

2. Анализ границ фигуры.

Фигура ограничена кривой $y = x^{4/3}$, прямой $y = \frac{8}{3}x - \frac{16}{3}$ и осью абсцисс ($y=0$).

Найдем точки пересечения этих линий. Касательная пересекает ось абсцисс ($y=0$) в точке: $0 = \frac{8}{3}x - \frac{16}{3} \Rightarrow 8x = 16 \Rightarrow x = 2$. График функции $y = x^{4/3}$ пересекает ось абсцисс в точке $x=0$.

3. Вычисление площади.

Площадь искомой фигуры можно представить как площадь под кривой $y = x^{4/3}$ от $x=0$ до $x=8$ за вычетом площади треугольника, который образует касательная с осью абсцисс и вертикальной прямой $x=8$.

Площадь под кривой $y = x^{4/3}$ на отрезке $[0, 8]$ вычисляется с помощью интеграла:

$S_1 = \int_0^8 x^{4/3} \,dx = \left[ \frac{x^{7/3}}{7/3} \right]_0^8 = \left[ \frac{3}{7}x^{7/3} \right]_0^8 = \frac{3}{7} \cdot 8^{7/3} - 0 = \frac{3}{7} \cdot (2^3)^{7/3} = \frac{3}{7} \cdot 2^7 = \frac{3 \cdot 128}{7} = \frac{384}{7}$.

Площадь под касательной на отрезке $[2, 8]$ — это площадь прямоугольного треугольника с вершинами в точках $(2,0)$, $(8,0)$ и $(8,16)$. Основание треугольника равно $8 - 2 = 6$, высота равна $16$.

$S_2 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 16 = 48$.

Искомая площадь $S$ равна разности $S_1$ и $S_2$:

$S = S_1 - S_2 = \frac{384}{7} - 48 = \frac{384 - 336}{7} = \frac{48}{7}$.

Ответ: $\frac{48}{7}$.

б)

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиком функции $y = x\sqrt[4]{x}$, касательной к этому графику в точке $x_0 = 1$ и осью ординат, выполним следующие шаги:

1. Нахождение уравнения касательной.

Представим функцию в виде степени: $f(x) = x \cdot x^{1/4} = x^{5/4}$.

Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Находим значение функции в точке касания $x_0 = 1$:

$f(1) = 1^{5/4} = 1$.

Находим производную функции:

$f'(x) = (x^{5/4})' = \frac{5}{4}x^{5/4 - 1} = \frac{5}{4}x^{1/4}$.

Находим угловой коэффициент касательной в точке $x_0 = 1$:

$f'(1) = \frac{5}{4} \cdot 1^{1/4} = \frac{5}{4}$.

Составляем уравнение касательной:

$y = 1 + \frac{5}{4}(x - 1) = 1 + \frac{5}{4}x - \frac{5}{4} = \frac{5}{4}x - \frac{1}{4}$.

2. Вычисление площади.

Фигура ограничена кривой $y = x^{5/4}$, касательной $y = \frac{5}{4}x - \frac{1}{4}$ и осью ординат ($x=0$).

Вторая производная $f''(x) = \frac{5}{16}x^{-3/4} > 0$ для $x>0$, поэтому функция выпукла вниз, и ее график лежит выше касательной (кроме точки касания).

Площадь фигуры находится как интеграл разности между верхней функцией ($y = x^{5/4}$) и нижней функцией (касательная $y = \frac{5}{4}x - \frac{1}{4}$) в пределах от $x=0$ (ось ординат) до $x=1$ (точка касания).

$S = \int_0^1 \left( x^{5/4} - \left(\frac{5}{4}x - \frac{1}{4}\right) \right) \,dx = \int_0^1 \left( x^{5/4} - \frac{5}{4}x + \frac{1}{4} \right) \,dx$.

Вычисляем определенный интеграл:

$S = \left[ \frac{x^{9/4}}{9/4} - \frac{5}{4}\frac{x^2}{2} + \frac{1}{4}x \right]_0^1 = \left[ \frac{4}{9}x^{9/4} - \frac{5}{8}x^2 + \frac{1}{4}x \right]_0^1$.

Подставляем пределы интегрирования:

$S = \left( \frac{4}{9}(1)^{9/4} - \frac{5}{8}(1)^2 + \frac{1}{4}(1) \right) - (0) = \frac{4}{9} - \frac{5}{8} + \frac{1}{4}$.

Приводим дроби к общему знаменателю 72:

$S = \frac{4 \cdot 8}{72} - \frac{5 \cdot 9}{72} + \frac{1 \cdot 18}{72} = \frac{32 - 45 + 18}{72} = \frac{50 - 45}{72} = \frac{5}{72}$.

Ответ: $\frac{5}{72}$.