Страница 148, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

22.1. Случайным образом выбирают одно из решений неравенства $x^2 \le 9$. Найдите вероятность того, что оно является решением неравенства:

a) $x^2 \le 10$;

б) $2x - 3 \le 17$;

в) $x^2 \ge 10$;

г) $x^3 + 2x \ge 0$.

Данная задача решается с помощью геометрического определения вероятности. Пространством элементарных исходов является множество решений неравенства $x^2 \le 9$. Найдем это множество.

Неравенство $x^2 \le 9$ равносильно $|x| \le 3$, что задает отрезок $[-3, 3]$.

Таким образом, множество всех возможных исходов — это отрезок $M = [-3, 3]$. Его длина (мера) составляет $L(M) = 3 - (-3) = 6$.

Вероятность того, что случайно выбранное решение из отрезка $M$ также является решением другого неравенства, равна отношению длины пересечения множеств решений к длине отрезка $M$.

а) $x^2 \le 10$

1. Найдем множество решений неравенства $x^2 \le 10$.
Это неравенство равносильно $|x| \le \sqrt{10}$, то есть $-\sqrt{10} \le x \le \sqrt{10}$. Множество решений $A_a = [-\sqrt{10}, \sqrt{10}]$.

2. Найдем пересечение множества решений $A_a$ с исходным множеством $M = [-3, 3]$.
Так как $9 < 10$, то $\sqrt{9} < \sqrt{10}$, то есть $3 < \sqrt{10}$. Следовательно, отрезок $M = [-3, 3]$ полностью содержится в отрезке $A_a = [-\sqrt{10}, \sqrt{10}]$.
Пересечение множеств: $B_a = M \cap A_a = [-3, 3]$.

3. Длина множества благоприятных исходов $L(B_a) = 3 - (-3) = 6$.

4. Вероятность равна отношению длин:
$P(a) = \frac{L(B_a)}{L(M)} = \frac{6}{6} = 1$.

Ответ: 1

б) $2x - 3 \le 17$

1. Решим неравенство $2x - 3 \le 17$:
$2x \le 17 + 3$
$2x \le 20$
$x \le 10$
Множество решений $A_b = (-\infty, 10]$.

2. Найдем пересечение $A_b$ с $M = [-3, 3]$:
$B_b = [-3, 3] \cap (-\infty, 10] = [-3, 3]$, так как все точки отрезка $[-3, 3]$ меньше 10.

3. Длина множества благоприятных исходов $L(B_b) = 3 - (-3) = 6$.

4. Вероятность равна:
$P(b) = \frac{L(B_b)}{L(M)} = \frac{6}{6} = 1$.

Ответ: 1

в) $x^2 \ge 10$

1. Найдем множество решений неравенства $x^2 \ge 10$.
Это неравенство равносильно $|x| \ge \sqrt{10}$, то есть $x \le -\sqrt{10}$ или $x \ge \sqrt{10}$.
Множество решений $A_v = (-\infty, -\sqrt{10}] \cup [\sqrt{10}, \infty)$.

2. Найдем пересечение $A_v$ с $M = [-3, 3]$.
Как мы установили в пункте а), $\sqrt{10} > 3$, следовательно $-\sqrt{10} < -3$.
Отрезок $[-3, 3]$ не имеет общих точек с множеством $A_v$.
Пересечение $B_v = M \cap A_v = \emptyset$ (пустое множество).

3. Длина пустого множества равна 0, то есть $L(B_v) = 0$.

4. Вероятность равна:
$P(v) = \frac{L(B_v)}{L(M)} = \frac{0}{6} = 0$.

Ответ: 0

г) $x^3 + 2x \ge 0$

1. Решим неравенство $x^3 + 2x \ge 0$:
$x(x^2 + 2) \ge 0$
Выражение в скобках $x^2 + 2$ всегда положительно для любого действительного $x$ (так как $x^2 \ge 0$, то $x^2 + 2 \ge 2$).
Поэтому знак всего выражения зависит только от знака $x$. Неравенство равносильно $x \ge 0$.
Множество решений $A_g = [0, \infty)$.

2. Найдем пересечение $A_g$ с $M = [-3, 3]$:
$B_g = [-3, 3] \cap [0, \infty) = [0, 3]$.

3. Длина множества благоприятных исходов $L(B_g) = 3 - 0 = 3$.

4. Вероятность равна:
$P(g) = \frac{L(B_g)}{L(M)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

22.2. Случайным образом выбирают одно из решений неравенства $1 \le |x - 3| \le 5$. Найдите вероятность того, что оно является решением неравенства:

а) $|x| \le 2;$

б) $|x - 6| \le 2;$

в) $|x| \le 1;$

г) $1 \le |x - 6| \le 2.$

Для решения задачи сначала найдем множество решений $M$ неравенства $1 \le |x - 3| \le 5$. Это множество будет являться пространством элементарных исходов. Данное двойное неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} |x - 3| \ge 1 \\ |x - 3| \le 5 \end{cases} $

Решим каждое неравенство отдельно:

1) Неравенство $|x - 3| \ge 1$ равносильно совокупности двух неравенств:

$x - 3 \ge 1$ или $x - 3 \le -1$

$x \ge 4$ или $x \le 2$

Решением является объединение промежутков $(-\infty, 2] \cup [4, +\infty)$.

2) Неравенство $|x - 3| \le 5$ равносильно двойному неравенству:

$-5 \le x - 3 \le 5$

Прибавив 3 ко всем частям, получим:

$-2 \le x \le 8$

Решением является отрезок $[-2, 8]$.

Множество решений $M$ исходного неравенства является пересечением решений, полученных в пунктах 1) и 2):

$M = ((-\infty, 2] \cup [4, +\infty)) \cap [-2, 8] = [-2, 2] \cup [4, 8]$.

Это множество состоит из двух отрезков. В задачах на геометрическую вероятность мерой множества на прямой является его длина. Найдем общую длину $L(M)$ множества решений $M$:

$L(M) = (2 - (-2)) + (8 - 4) = 4 + 4 = 8$.

Теперь найдем вероятность того, что случайно выбранное из множества $M$ решение будет также являться решением каждого из предложенных неравенств. Вероятность $P$ будет находиться как отношение длины множества благоприятных исходов к длине всего множества исходов $L(M)$.

а) $|x| \le 2$

Решим это неравенство: $-2 \le x \le 2$. Обозначим множество решений как $A = [-2, 2]$.

Найдем пересечение множества $A$ с множеством $M$, чтобы определить, какая часть решений $M$ удовлетворяет этому условию:

$A \cap M = [-2, 2] \cap ([-2, 2] \cup [4, 8]) = [-2, 2]$.

Длина этого множества $L(A \cap M) = 2 - (-2) = 4$.

Искомая вероятность равна:

$P = \frac{L(A \cap M)}{L(M)} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

б) $|x - 6| \le 2$

Решим это неравенство: $-2 \le x - 6 \le 2$. Прибавим 6 ко всем частям: $4 \le x \le 8$. Обозначим множество решений как $B = [4, 8]$.

Найдем пересечение множества $B$ с множеством $M$:

$B \cap M = [4, 8] \cap ([-2, 2] \cup [4, 8]) = [4, 8]$.

Длина этого множества $L(B \cap M) = 8 - 4 = 4$.

Искомая вероятность равна:

$P = \frac{L(B \cap M)}{L(M)} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

в) $|x| \le 1$

Решим это неравенство: $-1 \le x \le 1$. Обозначим множество решений как $V = [-1, 1]$.

Найдем пересечение множества $V$ с множеством $M$:

$V \cap M = [-1, 1] \cap ([-2, 2] \cup [4, 8]) = [-1, 1]$.

Длина этого множества $L(V \cap M) = 1 - (-1) = 2$.

Искомая вероятность равна:

$P = \frac{L(V \cap M)}{L(M)} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$

г) $1 \le |x - 6| \le 2$

Решим это двойное неравенство, которое равносильно системе $\{_{|x - 6| \le 2}^{|x - 6| \ge 1}$.

1) $|x - 6| \ge 1 \Rightarrow x - 6 \ge 1$ или $x - 6 \le -1 \Rightarrow x \ge 7$ или $x \le 5$.

2) $|x - 6| \le 2 \Rightarrow -2 \le x - 6 \le 2 \Rightarrow 4 \le x \le 8$.

Пересечение этих решений дает множество $G = [4, 5] \cup [7, 8]$.

Найдем пересечение множества $G$ с множеством $M$:

$G \cap M = ([4, 5] \cup [7, 8]) \cap ([-2, 2] \cup [4, 8]) = [4, 5] \cup [7, 8]$.

Длина этого множества $L(G \cap M) = (5 - 4) + (8 - 7) = 1 + 1 = 2$.

Искомая вероятность равна:

$P = \frac{L(G \cap M)}{L(M)} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$

22.3. Случайным образом выбирают одно из решений неравенства $\sqrt{x} \le 10$. Найдите вероятность того, что оно:

а) является решением неравенства $\sqrt{x} \le 1$;

б) принадлежит области определения функции $y = \ln (40x - 39 - x^2)$;

в) является решением неравенства $\sqrt{x - 10} \le 5$;

г) принадлежит области значений функции $y = 0,5 \sin \left( 2x + \frac{3\pi}{2} \right) + 1$.

Для решения задачи сначала найдем множество всех решений исходного неравенства $\sqrt{x} \le 10$. Это будет наше пространство элементарных исходов.

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного неравенства определяется условием $x \ge 0$.
Так как обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:
$(\sqrt{x})^2 \le 10^2$
$x \le 100$
Объединяя с ОДЗ, получаем, что множество решений исходного неравенства — это отрезок $[0, 100]$.

Это задача на геометрическую вероятность. Мерой (длиной) множества всех возможных исходов является длина отрезка $[0, 100]$, то есть $L = 100 - 0 = 100$. Вероятность события будет равна отношению длины отрезка благоприятных исходов к длине отрезка всех исходов.

Найдем множество решений неравенства $\sqrt{x} \le 1$.
ОДЗ: $x \ge 0$.
Возведем обе части в квадрат: $x \le 1^2$, то есть $x \le 1$.
Решением является отрезок $[0, 1]$.
Множество благоприятных исходов — это пересечение $[0, 100]$ и $[0, 1]$, что равно $[0, 1]$.
Длина отрезка благоприятных исходов $l_a = 1 - 0 = 1$.
Искомая вероятность равна:$P = \frac{l_a}{L} = \frac{1}{100} = 0,01$.

Ответ: $0,01$

Найдем область определения функции. Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным:
$40x - 39 - x^2 > 0$
Умножим неравенство на $-1$, изменив знак на противоположный:
$x^2 - 40x + 39 < 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 40x + 39 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $40$, а произведение $39$. Корни: $x_1 = 1, x_2 = 39$.
Так как парабола $y = x^2 - 40x + 39$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство $x^2 - 40x + 39 < 0$ выполняется на интервале между корнями: $x \in (1, 39)$.
Множество благоприятных исходов — это пересечение $[0, 100]$ и $(1, 39)$, что равно $(1, 39)$.
Длина интервала благоприятных исходов $l_b = 39 - 1 = 38$.
Искомая вероятность равна:$P = \frac{l_b}{L} = \frac{38}{100} = 0,38$.

Ответ: $0,38$

Найдем множество решений неравенства $\sqrt{x - 10} \le 5$.
ОДЗ: $x - 10 \ge 0 \implies x \ge 10$.
Возведем обе части в квадрат: $x - 10 \le 5^2 \implies x - 10 \le 25 \implies x \le 35$.
С учетом ОДЗ, решением является отрезок $[10, 35]$.
Множество благоприятных исходов — это пересечение $[0, 100]$ и $[10, 35]$, что равно $[10, 35]$.
Длина отрезка благоприятных исходов $l_c = 35 - 10 = 25$.
Искомая вероятность равна:$P = \frac{l_c}{L} = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} = 0,25$.

Ответ: $0,25$

Найдем область значений (множество всех значений $y$) данной функции.
Функция синус принимает значения в диапазоне $[-1, 1]$:$-1 \le \sin \left(2x + \frac{3\pi}{2}\right) \le 1$
Умножим все части двойного неравенства на $0,5$:$-0,5 \le 0,5 \sin \left(2x + \frac{3\pi}{2}\right) \le 0,5$
Прибавим ко всем частям $1$:$-0,5 + 1 \le 0,5 \sin \left(2x + \frac{3\pi}{2}\right) + 1 \le 0,5 + 1$
$0,5 \le y \le 1,5$
Область значений функции — это отрезок $[0,5; 1,5]$.
Нас интересует вероятность того, что случайно выбранное решение $x$ из отрезка $[0, 100]$ само принадлежит отрезку $[0,5; 1,5]$.
Множество благоприятных исходов — это пересечение $[0, 100]$ и $[0,5; 1,5]$, что равно $[0,5; 1,5]$.
Длина отрезка благоприятных исходов $l_d = 1,5 - 0,5 = 1$.
Искомая вероятность равна:$P = \frac{l_d}{L} = \frac{1}{100} = 0,01$.

Ответ: $0,01$

22.4. Случайным образом выбирают одно из решений неравенства $\frac{2x^2 + 15x + 18}{9 + 9x - 4x^2} \ge 0$. Что более вероятно:

а) то, что оно положительно, или то, что оно отрицательно;

б) то, что оно меньше $-3$, или то, что оно больше $-3$;

в) то, что оно целое, или то, что оно не целое;

г) то, что оно больше $-5$, или то, что оно меньше $-2$?

Для решения задачи сначала найдем множество всех решений данного неравенства.$$ \frac{2x^2 + 15x + 18}{9 + 9x - 4x^2} \ge 0 $$

1. Найдем корни числителя: $2x^2 + 15x + 18 = 0$.
Используем формулу для корней квадратного уравнения. Дискриминант:$D = b^2 - 4ac = 15^2 - 4 \cdot 2 \cdot 18 = 225 - 144 = 81 = 9^2$.
Корни: $x_1 = \frac{-15 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-24}{4} = -6$; $x_2 = \frac{-15 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -1.5$.

2. Найдем корни знаменателя: $9 + 9x - 4x^2 = 0$.
Умножим на -1 для удобства: $4x^2 - 9x - 9 = 0$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-9) = 81 + 144 = 225 = 15^2$.
Корни: $x_3 = \frac{9 - 15}{2 \cdot 4} = \frac{-6}{8} = -0.75$; $x_4 = \frac{9 + 15}{2 \cdot 4} = \frac{24}{8} = 3$.
Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому эти значения исключаются из множества решений: $x \ne -0.75$ и $x \ne 3$.

3. Решим неравенство методом интервалов.
Перепишем неравенство, разложив числитель и знаменатель на множители:$$ \frac{2(x - (-6))(x - (-1.5))}{ -4(x - 3)(x - (-0.75))} \ge 0 $$$$ \frac{2(x+6)(x+1.5)}{ -4(x-3)(x+0.75)} \ge 0 $$Разделим обе части на -2, изменив при этом знак неравенства на противоположный:$$ \frac{(x+6)(x+1.5)}{(x-3)(x+0.75)} \le 0 $$Отметим на числовой оси корни числителя $x = -6$ и $x = -1.5$ (закрашенными точками, так как неравенство нестрогое) и корни знаменателя $x = -0.75$ и $x = 3$ (выколотыми точками).
Определим знаки выражения на получившихся интервалах.

Решением неравенства $\le 0$ являются интервалы со знаком "минус", включая концы, принадлежащие числителю.
Множество решений: $S = [-6, -1.5] \cup (-0.75, 3)$.

Чтобы сравнить вероятности, мы будем сравнивать длины (меры) соответствующих подмножеств решений. Общая длина множества решений: $L = (-1.5 - (-6)) + (3 - (-0.75)) = 4.5 + 3.75 = 8.25$.

а) то, что оно положительно, или то, что оно отрицательно;

Найдем подмножество отрицательных решений: это пересечение множества решений $S$ с интервалом $(-\infty, 0)$.
Отрицательные решения: $[-6, -1.5] \cup (-0.75, 0)$.
Длина этого множества: $L_{отр} = (-1.5 - (-6)) + (0 - (-0.75)) = 4.5 + 0.75 = 5.25$.
Найдем подмножество положительных решений: это пересечение множества решений $S$ с интервалом $(0, +\infty)$.
Положительные решения: $(0, 3)$.
Длина этого множества: $L_{пол} = 3 - 0 = 3$.
Поскольку $L_{отр} > L_{пол}$ ($5.25 > 3$), более вероятно, что случайно выбранное решение будет отрицательным.
Ответ: более вероятно, что оно отрицательно.

б) то, что оно меньше –3, или то, что оно больше –3;

Найдем подмножество решений, которые меньше –3: $S \cap (-\infty, -3) = [-6, -3)$.
Длина этого множества: $L_{< -3} = -3 - (-6) = 3$.
Найдем подмножество решений, которые больше –3: $S \cap (-3, +\infty) = (-3, -1.5] \cup (-0.75, 3)$.
Длина этого множества: $L_{> -3} = (-1.5 - (-3)) + (3 - (-0.75)) = 1.5 + 3.75 = 5.25$.
Поскольку $L_{> -3} > L_{< -3}$ ($5.25 > 3$), более вероятно, что случайно выбранное решение будет больше –3.
Ответ: более вероятно, что оно больше –3.

в) то, что оно целое, или то, что оно не целое;

Найдем все целые числа, входящие в множество решений $S = [-6, -1.5] \cup (-0.75, 3)$.
В интервал $[-6, -1.5]$ входят целые числа: -6, -5, -4, -3, -2. Всего 5 чисел.
В интервал $(-0.75, 3)$ входят целые числа: 0, 1, 2. Всего 3 числа.
Общее количество целых решений — $5 + 3 = 8$.
Множество целых решений является счетным (имеет меру ноль), в то время как множество всех решений является несчетным и имеет конечную положительную длину (меру 8.25). При случайном выборе точки из непрерывного множества вероятность попадания в любое счетное подмножество равна нулю.
Следовательно, практически достоверно, что выбранное число не будет целым.
Ответ: более вероятно, что оно не целое.

г) то, что оно больше –5, или то, что оно меньше –2?

Найдем подмножество решений, которые больше –5: $S \cap (-5, +\infty) = (-5, -1.5] \cup (-0.75, 3)$.
Длина этого множества: $L_{> -5} = (-1.5 - (-5)) + (3 - (-0.75)) = 3.5 + 3.75 = 7.25$.
Найдем подмножество решений, которые меньше –2: $S \cap (-\infty, -2) = [-6, -2)$.
Длина этого множества: $L_{< -2} = -2 - (-6) = 4$.
Поскольку $L_{> -5} > L_{< -2}$ ($7.25 > 4$), более вероятно, что случайно выбранное решение будет больше –5.
Ответ: более вероятно, что оно больше –5.