Страница 147, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

21.77. Докажите, что площадь S криволинейной трапеции, ограниченной параболой $y = ax^2 + bx + c$ и прямыми $x = \alpha$, $x = \beta (\alpha < \beta)$, $y = 0$, можно найти по формуле

$S = \frac{\beta - \alpha}{6} \cdot \left(y(\alpha) + y(\beta) + 4y\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\right)$

(формула Симпсона).

21.77. Площадь $S$ криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y(x) = ax^2 + bx + c$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x=\alpha$, $x=\beta$, вычисляется с помощью определенного интеграла. Этот метод дает точное значение площади.

$S = \int_{\alpha}^{\beta} y(x) \,dx = \int_{\alpha}^{\beta} (ax^2 + bx + c) \,dx$

Для вычисления интеграла найдем первообразную для подынтегральной функции $y(x)$:

$F(x) = \int (ax^2 + bx + c) \,dx = a\frac{x^3}{3} + b\frac{x^2}{2} + cx$

По формуле Ньютона-Лейбница площадь $S$ равна:

$S = F(\beta) - F(\alpha) = \left(\frac{a\beta^3}{3} + \frac{b\beta^2}{2} + c\beta\right) - \left(\frac{a\alpha^3}{3} + \frac{b\alpha^2}{2} + c\alpha\right)$

Сгруппируем слагаемые при одинаковых коэффициентах $a$, $b$ и $c$:

$S = \frac{a}{3}(\beta^3 - \alpha^3) + \frac{b}{2}(\beta^2 - \alpha^2) + c(\beta - \alpha)$

Применим формулы разности кубов $(\beta^3 - \alpha^3 = (\beta - \alpha)(\beta^2 + \alpha\beta + \alpha^2))$ и разности квадратов $(\beta^2 - \alpha^2 = (\beta - \alpha)(\beta + \alpha))$, а затем вынесем общий множитель $(\beta - \alpha)$ за скобки:

$S = \frac{a}{3}(\beta - \alpha)(\beta^2 + \alpha\beta + \alpha^2) + \frac{b}{2}(\beta - \alpha)(\beta + \alpha) + c(\beta - \alpha)$

$S = (\beta - \alpha) \left[ \frac{a}{3}(\beta^2 + \alpha\beta + \alpha^2) + \frac{b}{2}(\beta + \alpha) + c \right]$ (1)

Теперь преобразуем правую часть доказываемой формулы Симпсона, обозначив ее как $R$:

$R = \frac{\beta - \alpha}{6} \left( y(\alpha) + y(\beta) + 4y\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \right)$

Найдем значения функции $y(x)$ в точках $\alpha$, $\beta$ и в средней точке $\frac{\alpha + \beta}{2}$:

$y(\alpha) = a\alpha^2 + b\alpha + c$

$y(\beta) = a\beta^2 + b\beta + c$

$y\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) = a\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)^2 + b\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) + c = a\frac{\alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2}{4} + b\frac{\alpha + \beta}{2} + c$

Подставим эти выражения в формулу для $R$:

$R = \frac{\beta - \alpha}{6} \left[ (a\alpha^2 + b\alpha + c) + (a\beta^2 + b\beta + c) + 4\left(a\frac{\alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2}{4} + b\frac{\alpha + \beta}{2} + c\right) \right]$

Раскроем скобки внутри квадратных скобок:

$R = \frac{\beta - \alpha}{6} \left[ a\alpha^2 + b\alpha + c + a\beta^2 + b\beta + c + a(\alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2) + 2b(\alpha + \beta) + 4c \right]$

Сгруппируем слагаемые по коэффициентам $a$, $b$ и $c$:

$R = \frac{\beta - \alpha}{6} \left[ a(\alpha^2 + \beta^2 + \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2) + b(\alpha + \beta + 2\alpha + 2\beta) + (c + c + 4c) \right]$

$R = \frac{\beta - \alpha}{6} \left[ a(2\alpha^2 + 2\beta^2 + 2\alpha\beta) + b(3\alpha + 3\beta) + 6c \right]$

$R = \frac{\beta - \alpha}{6} \left[ 2a(\alpha^2 + \alpha\beta + \beta^2) + 3b(\alpha + \beta) + 6c \right]$

Внесем множитель $\frac{1}{6}$ в скобки, сократив коэффициенты:

$R = (\beta - \alpha) \left[ \frac{2a}{6}(\alpha^2 + \alpha\beta + \beta^2) + \frac{3b}{6}(\alpha + \beta) + \frac{6c}{6} \right]$

$R = (\beta - \alpha) \left[ \frac{a}{3}(\alpha^2 + \alpha\beta + \beta^2) + \frac{b}{2}(\alpha + \beta) + c \right]$ (2)

Сравнивая выражения для площади $S$ (1) и для правой части формулы Симпсона $R$ (2), мы видим, что они полностью совпадают. Следовательно, $S = R$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $S = \frac{\beta - \alpha}{6} \left( y(\alpha) + y(\beta) + 4y\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \right)$ для параболы доказано путем прямого вычисления интеграла для площади и преобразования правой части формулы, что привело к тождественным выражениям.